Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
Oblicz czas połowicznego rozpadu wiedząc, że w ciągu \(\displaystyle{ 56,9}\) godzin \(\displaystyle{ 88\%}\) początkowej liczby jąder uległo rozpadowi. Czas połowicznego rozpadu podaj w godzinach.

Preparat promieniotwórczy zawiera \(\displaystyle{ 10^{25}}\) atomów promieniotwórczych, których okres połowicznego zaniku wynosi 13 dni. Oblicz ilość atomów, które pozostaną po 44 dniach.

Oblicz stałą rozpadu promieniotwórczego izotopu promieniotwórczego jeśli wiadomo, że po \(\displaystyle{ 43,7}\) minutach z początkowej jego masy wynoszącej \(\displaystyle{ 9,7\mbox{ g}}\) pozostało \(\displaystyle{ 912}\) miligramów. Wynik podaj w \(\displaystyle{ s^{-1}}\).

Dokładnie robi się to rozwiązując równanie różniczkowe \(\displaystyle{ m'(t)=-km(t),}\) gdzie \(\displaystyle{ m(t)}\) oznacza masę pierwiastka w chwili \(\displaystyle{ t}\). Mamy tu warunek początkowy \(\displaystyle{ m(56.9)=0.12m_0}\) (pozostało \(\displaystyle{ 12\%}\) masy początkowej).

Kolejne zadania robi się analogicznie.

Nie stosujemy tu proporcji, bo prędkość rozpadu promieniotwórczego nie jest liniowa, a proporcojnalna do masy pierwiastka, która jeszcze się nie rozpadła. Współczynnik \(\displaystyle{ k>0}\) zależy od konkretnego pierwiastka.

.... i jak już rozwiążesz to równanie różniczkowe z podanymi warunkami to dostaniesz poniższy wzór:

\(\displaystyle{ N_{t}=N_{o}exp \left (- \lambda \cdot t}) \right =N_{o}exp \left ( \frac{-ln2}{T_{1/2}} \cdot t} \right )}\)

czyli

\(\displaystyle{ \lambda = \frac{ln2}{T_{1/2}}= \frac{0.693}{T_{1/2}}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ N_{t}}\) - liczba cząstek, które nie uległy rozpadowi po czasie \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ N_{o}}\) - początkowa liczba cząstek

\(\displaystyle{ \lambda}\) - stała rozpadu promieniotwórczego

\(\displaystyle{ T_{1/2}}\) - czas połowicznego rozpadu

\(\displaystyle{ t}\) - czas trwania przemiany

Teraz jak to stosować w praktyce do Twoich zadań...

1.

88% uległo rozpadowi a więc 12% nie uległo.

\(\displaystyle{ \frac{N_{t}}{N_{o}} =exp \left ( \frac{-ln2}{T_{1/2}} \cdot t} \right )}\)

logarytmujemy stronami:

\(\displaystyle{ ln \frac{N_{t}}{N_{o}} = \frac{-ln2}{T_{1/2}} \cdot t}}\)

\(\displaystyle{ T_{1/2}= \frac{-ln2 \cdot t}{ln \frac{N_{t}}{N_{o}} }=\frac{ln2 \cdot t}{ln \frac{N_{o}}{N_{t}} }=\frac{ln2 \cdot 56.9}{ln \frac{100 \%} {12 \%} }}\)

\(\displaystyle{ T_{1/2}=18.6 \ h}\)



2.

\(\displaystyle{ N_{t}=N_{o}exp \left ( \frac{-ln2}{T_{1/2}} \cdot t} \right )=10^{25} exp \left ( \frac{-ln2}{13} \cdot 44} \right )=9.6 \cdot 10^{23}}\)

3.

Analog pierwszego równania ale wyrażone przez masy:

\(\displaystyle{ m_{t}=m_{o}exp \left (- \lambda \cdot t}) \right}\)

\(\displaystyle{ \frac{ m_{t}}{m_{o}}=exp \left (- \lambda \cdot t}) \right}\)

logarytmujemy stronami:

\(\displaystyle{ ln \frac{m_{t}}{m_{o}} = - \lambda \cdot t}}\)

\(\displaystyle{ \lambda= \frac{1}{t} \cdot ln \frac{m_{o}}{m_{t}}=\frac{1}{43.7 \cdot 60} \cdot ln \frac{9.7}{0.912}=9 \cdot 10^{-4} \ s^{-1}}\)

Mam jeszcze jedno pytanie: skąd się wzięło w wyniku \(\displaystyle{ 10^{23}}\) w zadaniu drugim? Mogę prosić o rozpisanie?

Eksponensa mi wycięło po pierwszym znaku równości....

\(\displaystyle{ N_{t}=N_{o}exp \left ( \frac{-ln2}{T_{1/2}} \cdot t} \right )=10^{25} exp \left ( \frac{-ln2}{13} \cdot 44} \right )=10^{25} exp \left ( \frac{-0.693}{13} \cdot 44} \right )=10^{25} \cdot exp \left (-2.3455 )=10^{25} \cdot 0.096= 10^{25} \cdot 9.6 \cdot 10^{-2} =9.6 \cdot 10^{23}}\)

oczywiście trzeba sprawdzać te wszystkie moje obliczenia

Dziękuję bardzo za pomoc, wszystkie wyniki się zgadzają
Mam ostatnie pytanie: czy \(\displaystyle{ e^{-2,3455384}}\) da się jakoś policzyć bez kalkulatora? Chodzi o zadanie 2.

Można rozwinąć funkcję w szereg ale raczej bez kalkulatora i tak się potem nie policzy (w rozsądnym czasie i z rozsądną dokładnością). Poza tym takie liczenie byłoby zadaniem samym w sobie. Jak takie coś pojawia Ci się na sprawdzianie, a nie możecie/nie korzystacie z kalkulatora to zostaw wynik z exp.