Zadania:
- Ciąg \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots}\) dodatnich liczb całkowitych jest wyznaczany przez swoje dwa pierwsze wyrazy oraz zależność rekurencyjną \(\displaystyle{ a_{n+2} = \frac{a_{n+1} + a_n }{\nwd (a_{n+1}, a_n)}}\). Wyznacz, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) ciąg ten jest ograniczony.
- \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem sfery \(\displaystyle{ S}\). Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) znajdują się wewnątrz \(\displaystyle{ S}\). Odcinek \(\displaystyle{ OA}\) jest prostopadły do odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Istnieją dwie sfery znajdujące się wewnątrz \(\displaystyle{ S}\), które przechodzą przez punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), i są zarazem styczne do \(\displaystyle{ S}\). Pokaż, że suma promieni tych dwóch sfer jest równa promieniowi sfery \(\displaystyle{ S}\).
- Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunek \(\displaystyle{ E \left| X+Y\right|^a < \infty}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a > 0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ E \left| X\right|^a < \infty}\).
- Konkurs trwa od 26 listopada 2010 do 5 grudnia 2010 włącznie.
- W konkursie mogą brać udział wszyscy zarejestrowani użytkownicy forum matematyka.pl
- Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga.
- Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko jeden raz.
- Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
- Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
- O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 7 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
- Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
- Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
- Najwyżej ocenione rozwiązanie zostanie nagrodzone koszulką matematyka.pl.
- W przypadku osiągnięcia identycznej liczby punktów przez uczestników konkursu, o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązania.
- Administratorzy forum zastrzegają sobie prawo do interpretacji regulaminu