Konkurs matematyka.pl
Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was konkurs. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, student.
Regulamin
- Konkurs trwa od 18:00 3.07.2009 do 23:59 10.07.2009
- W konkursie mogą brać udział tylko użytkownicy zarejestrowani na forum przed 3.07.2009.
- Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga zaznaczając w temacie kategorię, w której użytkownik bierze udział.
- Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko do jednej kategorii i tylko jeden raz.
- Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
- Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
- O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 4 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
- Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
- Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
- W każdej z kategorii wyłonimy dwie osoby z najwyższymi wynikami (w przypadku wyników ex aequo o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązań). Nagrodami są dwie książki ufundowane przez:
[url=http://ksiegarnia.pwn.pl/][/url]- ,,Jak to rozwiązać?' G. Polya
Książka należy do klasyki dydaktyki matematyki szkolnej. Pokazuje twórcze podejście do rozwiązywania zadań. Najciekawszą część stanowi Krótki słownik heurystyczny – zbiór dobrych rad autora.Obszerniejszy opis: - ,,O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych' W. Sierpiński
Tematem książki są równania, których rozwiązań poszukuje się w zbiorze liczb całkowitych. Rozwiązane całościowo problemy autor zaopatrzył w informacje historyczne dotyczące szukania tych rozwiązań.Obszerniejszy opis:
- ,,Jak to rozwiązać?' G. Polya
Zadania
Kategoria I - gimnazjalista
- Danych jest \(\displaystyle{ 15}\) liczb całkowitych większych od \(\displaystyle{ 1}\) i mniejszych od \(\displaystyle{ 2009}\), przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, że wśród tych \(\displaystyle{ 15}\) liczb jest przynajmniej jedna liczba pierwsza.
- W trójkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), a punkt \(\displaystyle{ E}\) jest takim punktem należącym do odcinka \(\displaystyle{ BC}\), że: \(\displaystyle{ |BE|=2 \cdot |EC|}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ADC = \angle BAE}\). Znajdź miarę kąta \(\displaystyle{ \angle BAC}\).
- Udowodnij, że dla nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c}\) prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ (a+b)(a+c) \ge 2 \sqrt{abc(a+b+c)}}\).
- Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ 2000}\) kolejnych liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej.
- Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistych układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2 = 0 \\ (x-k)^2+y^2=1 \end{cases}}\)
ma dokładnie 3 pary rozwiązań w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\)?
Kategoria II - licealista
- Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\\4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}\end{cases}}\) - Pewien stop składa się z miedzi i z cynku w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\). Drugi stop składa się z tych metali w stosunku \(\displaystyle{ 3:5}\). W jakim stosunku należy wziąć te dwa stopy, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku \(\displaystyle{ 5:9}\) ?
- Dany jest ciąg liczbowy \(\displaystyle{ u_n}\): \(\displaystyle{ u_1=1, \ u_{n+1}=2u_n +7}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wyznacz największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ u_n <9001}\).
- Ze zbioru funkcji \(\displaystyle{ f: \{ 1, 2, ...., 25\} \mapsto \{ 1, 2, ..., 31 \}}\) wybrano losowo jedną funkcję. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
- wybrana funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie rosnąca, tj. \(\displaystyle{ f(a)>f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a>b}\)
- maksimum funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynosi \(\displaystyle{ 10}\)
- zbiór wartosci \(\displaystyle{ f}\) jest dwuelementowy
- Znajdź \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \mapsto \mathbb{R}}\) wiedząc, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)+4f \left( \tfrac{1}{x} \right) = 3x}\)
Kategoria III - student
- Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le 1}\). Znajdź wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające trzy następujące warunki:
\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2}\)
- Wyznacz ostatnią cyfrę liczby
\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}}\)w systemie dziesiętnym
- Niech dana będzie macierz \(\displaystyle{ A = (a_{ij})_{n \times n}}\) o rzeczywistych nieujemnych elementach takich, że:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \quad (1 \le i \le n)}\)Udowodnij, że moduł żadnej wartości własnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) nie jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\). - Udowodnij, że jeśli rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) grupy abelowej \(\displaystyle{ A}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\), to równanie \(\displaystyle{ nx= a}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ A}\).
- Czy można skonstruować takie trzy kostki sześcienne, że \(\displaystyle{ P(A>B)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(B>C)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(C>A)>\tfrac{1}{2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ P(X>Y)}\) oznacza, że na kostce \(\displaystyle{ X}\) wypadnie większa liczba niż na kostce \(\displaystyle{ Y}\)? Podaj przykład lub wykaż, że nie jest to możliwe.