Matematyka.pl

zad.
W trókąkącie równobocznym o boku a przedłużono bok AC poza punkt A o odcinek AA1, |AA1|=1, bok AB poza punkt B o odcinek BB1, |BB1|=1, bok BC poza punkt C o odcinek CC1, |CC1|=1. Udowodnij, że trójkąt A1B1C1 jest równoboczny.

i mamm nastęujący problem: nie wiem jak to udowodnić , mógłby mi ktoś pomóc?
z góry dzięki

Ja to widzę tak. Zrobią ci się 3 malutkie trójkąty: AA1B1 , BB1C1 , CC1A1. Wszystkie 3 są takie same (np. dla tego, że mają po 2 takie same boki i taki sam kąt 120 między nimi), więc można stwierdzić, że mają oprócz tego kąta 120 takie same kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ 3( + \beta ) = `180}\) Więc suma tych kątów to 60, a to z kolei kąt między ramiolnami nowego trójkąta A1B1C1.

Zauważ, że trójkąt A1 C C1 ma boki o długościach \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ a+1}\), a kąt między nimi ma miarę \(\displaystyle{ 120 ^{o}}\).

Trójkąt A1 A B1 ma również boki o długościach \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ a+1}\), a kąt między nimi ma miarę \(\displaystyle{ 120 ^{o}}\).

Podobnie jest z trójkątem B1 B C1.

Trójkąty te są więc przystające, zatem \(\displaystyle{ |A1B1| = |A1C1| = |B1C1|}\).

Zatem trójkąt A1 B1 C1 jest równoboczny.