Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym różnica długości przyprostokątnych jest 2 razy mniejsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola kola opisanego na danym trójkącie do pola tego trójkąta.

Czy mógłby ktoś pomóc rozwiązać to zadanie?

Z góry dziękuję za pomoc!

\(\displaystyle{ a, b}\) dł. przyprostokątnych

\(\displaystyle{ c}\) dł przeciwprostokątnej

\(\displaystyle{ b- a = \frac{c}{2}}\)

\(\displaystyle{ b^{2} - 2ab + a^{2} = \frac{ c^{2} }{4}}\)

Z Pitagorasa: \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = c^{2}}\) więc :

\(\displaystyle{ c^{2} - 2ab = \frac{ c^{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ab}{2} = \frac{3}{16} c^{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{ t} = \frac{ab}{2} = \frac{3}{16} c^{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{k} = \pi \frac{ c^{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ P_{k}}{P_{ t} } = \frac{4}{3} \pi}\)

Dzięki!