nierówność kątów w trójkącie

[marty]

Udowodnij, że jeżeli długości a,b,c boków trójkąta spełniają nierówność \(\displaystyle{ a< \frac{b+c}{2}}\), to miary kątów \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) leżących naprzeciw boków a, b, c spełniają nierówność: \(\displaystyle{ \alpha< \frac{ \beta + \gamma}{2}}\).

proszę o pomoc

[bzyk12]

z tw.sinusów:
\(\displaystyle{ a< \frac{b+c}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha< \frac{sin\beta+sin\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha<sin \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot cos \frac{\beta-\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta=180-(\alpha+\gamma)}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha<sin \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot cos[90-(\gamma+ \frac{\alpha}{2})]}\)
\(\displaystyle{ -90<90-(\gamma+ \frac{\alpha}{2})<90 \Rightarrow 1\ge cos[90-(\gamma+ \frac{\alpha}{2})]>0}\)
\(\displaystyle{ sin \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot cos[90-(\gamma+ \frac{\alpha}{2})] \le sin\frac{\beta+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha<sin \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot cos[90-(\gamma+ \frac{\alpha}{2})] \le sin \frac{\beta+\gamma}{2} \Rightarrow sin\alpha<sin \frac{\beta+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha< \frac{\beta+\gamma}{2}}\)