Środkowe i obwód w trójkącie

[njoy]

Udowodnij, że suma długości środkowych w trójkącie jest mniejsza od obwodu tego trójkąta.

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}S_a < \frac{1}{3} S_c + \frac{c}{2} \\
\frac{2}{3}S_a < \frac{1}{3}S_b + \frac{b}{2} \\
\frac{2}{3}S_b < \frac{1}{3}S_a + \frac{a}{2} \\
\frac{2}{3}S_b < \frac{1}{3}S_c + \frac{c}{2} \\
\frac{2}{3}S_c < \frac{1}{3}S_a + \frac{a}{2} \\
\frac{2}{3}S_c < \frac{1}{3}S_b + \frac{b}{2} \\
\frac{4}{3}(S_a + S_b + S_c) < \frac{1}{3}(S_a + S_b + S_c) + (a + b + c) \\
S_a + S_b + S_c < a + b + c}\)

[meninio]

Po prawej stronie powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), więc tą metodą to nie wyjdzie.