Fragment matury z 1930 roku - chyba trójkąty

[AdamZenon89]

Witam,
mam nadzieje, ze zadaje pytanie w odpowiednim miejscu (mimo, ze zrodlowym skanie jest "Zadanie z algebry").

Trafilem niedawno na fragment egzaminu maturalnego sprzed niemalze 100 lat, gdzie byl ponizszy problem. No i niestety niespecjalnie potrafie sobie z nim poradzic. Chwilami mam wrazenie, ze juz widze sposob, ale do konca jakos niespecjalnie...

Moze ktos z Was mialby chwile, i moglby napisac, jak to rozwiazac?

Ponizej tekst z arkusza maturalnego:

Na srednicy \(\displaystyle{ AB = 2R}\) - danego polokregu wzieto dwa punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) tak, ze \(\displaystyle{ AC = x}\) i \(\displaystyle{ DB = 2x}\), przyczem punkt \(\displaystyle{ D}\) lezy na odcinku \(\displaystyle{ CD}\). Z punktu \(\displaystyle{ C}\) wzniesiono prostopadla do srednicy \(\displaystyle{ AB}\), przecinajaca polokrag w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Punkty \(\displaystyle{ F }\)i \(\displaystyle{ D}\) polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc \(\displaystyle{ x}\), jezeli \(\displaystyle{ FD = a}\). Dyskusja wzgledem \(\displaystyle{ a}\).

[janusz47]

Rys.

Długość odcinka \(\displaystyle{ x }\) wyznaczamy z równania wynikającego ze wzoru Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ CFD :}\)

\(\displaystyle{ |CD|^2 + |CF|^2 = |FD|^2, }\)

\(\displaystyle{ (2r -3x)^2 + x\cdot(2x +2r -3x) = a^2.}\)

Dodano po 24 minutach 31 sekundach:
Dyskusja istnienia pierwiastków trójmianu kwadratowego.

[AdamZenon89]

janusz 47 dziekuje za odpowiedz, rozwiazales problem, mimo ze to co napisalem, bylo bez sensu (znak + jest na tym samym klawiszu co znak =, a potem nieuwaga literkowa...).

Kombinowalem to tak, jak to zapisales, ale zawiesilem sie przy probie znalezienia zaleznosci \(\displaystyle{ \left| CF \right| }\) (na innym forum matematycznym zasugerowano, ze to "twierdzenie o sredniej geometrycznej", ktorego niestety nie pamietalem / nie znalem).

Poprawna tekst (gdyby ewentualnie komus sie przydalo), to:

Na srednicy \(\displaystyle{ AB = 2R}\) - danego polokregu wzieto dwa punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) tak, ze \(\displaystyle{ AC = x}\) i \(\displaystyle{ DB = 2x}\), przyczem punkt \(\displaystyle{ D}\) lezy na odcinku \(\displaystyle{ CB}\). Z punktu \(\displaystyle{ C}\) wzniesiono prostopadla do srednicy \(\displaystyle{ AB}\), przecinajaca polokrag w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Punkty \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ D}\) polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc \(\displaystyle{ x}\), jezeli \(\displaystyle{ FD = a}\). Dyskusja wzgledem \(\displaystyle{ a}\).

PS. Chyba wstawiles rysunkek, niestety jednak w dwoch przegladarkach (Opera, FF) go nie widze.

[Jan Kraszewski]

PS. Chyba wstawiles rysunkek,

Chyba nie...

Ponieważ jest to ciąg wskazówek, więc pierwsza wskazówka po rozwinięciu brzmi: "Zrób rysunek".

JK

[janusz47]

Pan Jan Kraszewski ma rację.

Nie wstawiałem rysunku z wpisanym w półkole trójkątem prostokątnym \(\displaystyle{ ABF }\) i trójkątem prostokątnym \(\displaystyle{ CDF }\) do

którego zastosowałem twierdzenie Pitagorasa. Zasygnalizowałem tylko, że przydałby się rysunek.

[a4karo]

Wzór na `CF` wynika z faktu, że trójkąty `ABF, ACF, BCF` są podobne

[janusz47]

Długość wysokości \(\displaystyle{ CF }\) trójkąta \(\displaystyle{ ABF }\) wynika z twierdzenia o wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.