dowód nierówności z trójkątem

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

dowód nierówności z trójkątem

Post autor: wojciechfil20 »

Wykaż, że w trójkącie zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \frac{R}{r} > \frac{a}{h} }\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, \(\displaystyle{ r}\) – promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, \(\displaystyle{ a}\) – najdłuższym bokiem, a \(\displaystyle{ h}\) – najkrótszą wysokością.
Ostatnio zmieniony 10 kwie 2022, o 23:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: dowód nierówności z trójkątem

Post autor: janusz47 »

Rys.

Z okręgu wpisanego w trójkąt:

\(\displaystyle{ 2r >h }\)

Z nierówności trójkąta równoramiennego o podstawie \(\displaystyle{ a }\)

\(\displaystyle{ 2R > a }\)



\(\displaystyle{ \frac{R}{r} > \frac{R}{\frac{h}{2}} > \frac{a}{h}. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: dowód nierówności z trójkątem

Post autor: Premislav »

janusz47 pisze: 11 kwie 2022, o 17:21 Rys.

Z okręgu wpisanego w trójkąt:

\(\displaystyle{ 2r >h }\)

Z nierówności trójkąta równoramiennego o podstawie \(\displaystyle{ a }\)

\(\displaystyle{ 2R > a }\)



\(\displaystyle{ \frac{R}{r} > \frac{R}{\frac{h}{2}} > \frac{a}{h}. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)
Przecież nierówność \(\displaystyle{ 2r>h}\) daje
\(\displaystyle{ \frac{R}{r}<\frac{R}{\frac h 2}}\), a nie nierówność z przeciwnym zwrotem... Już nie wspominając o tym, że nierówność ta jest nieprawdziwa, por. trójkąt równoboczny.
ODPOWIEDZ