Boki trójkąta

[Longines]

Dany jest trójkąt prostokątny, którego;
pole powierzchni wynosi: 1560
obwód wynosi: 208

obliczyć boki trójkąta

[Elayne]

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ a, b}\) – przyprostokątne;
\(\displaystyle{ c}\) – przeciwprostokątna.

Pole powierzchni:
\(\displaystyle{ S = 1/2 \ ab \\
1 \ 560 = 1/2 \ ab \\
2 \times 1 \ 560 = ab}\)

Obwód:
\(\displaystyle{ a + b + c = 208}\)

Twierdzenie Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\)

Mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a + b + c = 208 \\
ab = 2 \times 1 \ 560 \\
a^2 + b^2 = c^2
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a + b + c = 208 \\
a + b = 208 - c \\
a^2 + 2ab + b^2 = 208^2 - 2 \times 208 c + c^2 \\
a^2 + 4 \times 1 \ 560 + b^2 = 208^2 - 416 c + c^2 \\
4 \times 1 \ 560 = 208^2 - 416 c \\
416 c = 37 \ 024 \\
c = 89}\)

[…]

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a=39, b=80, c=89; \\
a=80, b=39, c=89.}\)

[Longines]

Super, dziękuję.