W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są \(\displaystyle{ |BC|=15, \sin BAC= \frac{12}{13}, \sin CBA= \frac{8}{10} }\). Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
1. Jeśli poprowadzę wysokość \(\displaystyle{ CD}\) (założę że kąty wymienione w zadaniu są ostre) i korzystając z definicji \(\displaystyle{ \sin CBA}\) wyznaczę jej długość to wyjdzie mi \(\displaystyle{ 12}\). Postępując analogicznie dla trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\) otrzymam długość \(\displaystyle{ \left| AC\right| =13}\). Następnie Tw. Pitagorasa i jest cała podstawa \(\displaystyle{ AB=17}\). Wtedy pole trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 84}\).
2. Chcę jednak obliczyć to inaczej, wykorzystuję twierdzenie cosinusów do wyznaczenia długości podstawy. Wyznaczam \(\displaystyle{ \cos CBA= \frac{6}{10} }\) (też zakładam, że jest ostry). Stosuję twierdzenie cosinusów do całego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i otrzymuje, że podstawa nie jest już równa tyle co poprzednio, tylko \(\displaystyle{ |AB|=14 }\) lub \(\displaystyle{ |AB|=4 }\)
W którym miejscu robię błąd? Proszę o pomoc
Pozostaje rozważyć przypadki: czy \(D\) należy, czy nie do \(\overline{AB}\).