Optymalny trójkąt prostokątny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: bedbet »

Wykaż, że ze wszystkich trójkątów prostokątnych o stałym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt równoramienny.

Zadanie bez użycia pochodnych, zaciąłem się przy nierównościach pomiędzy średnimi...
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: Tmkk »

Niech \(\displaystyle{ a+b+c = p}\) będzie tym ustalonym obwodem. Wtedy pole, które mamy optymalizować to \(\displaystyle{ P = \frac{rp}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego. Więc zamiast optymalizować pole, możemy zoptymalizować ten promień. Ale jak się zrobi rysunek, to prosto widać, że zachodzi \(\displaystyle{ c = (a-r) + (b-r)}\), czyli \(\displaystyle{ r = \frac{p}{2} - c}\). Wobec tego znowu, zamiast maksymalizować promień, możemy zminimalizować bok \(\displaystyle{ c}\).

Podsumowując, problem sprowadza się do znalezienia minimum \(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2+b^2}}\) z warunkiem \(\displaystyle{ a+b+c = p}\), co już łatwo idzie z nierówności miedzy średnią kwadratową a arytmetyczną.
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: bedbet »

Pokazanie, że ze wszystkich trójkątów równoramiennych o ograniczonym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt prostokątny jest trywialne (\(\displaystyle{ \sin\alpha\leq 1}\)).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: Jan Kraszewski »

bedbet pisze: 6 sty 2022, o 12:25 Pokazanie, że ze wszystkich trójkątów równoramiennych o ograniczonym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt prostokątny jest trywialne (\(\displaystyle{ \sin\alpha\leq 1}\)).
Co nie ma żadnego związku z zadaniem...

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: janusz47 »

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: a4karo »

To też nie ma związku. Chyba że są trójkąty równoboczno-prostokątne
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: janusz47 »

Możemy zastosować równość, która wyraża związek pomiędzy sumą, różnicą i iloczynem dwóch dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b, }\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = a\cdot b.}\)

Na podstawie tej równości można wykazać, że jeżeli dwa dowolne boki o długościach \(\displaystyle{ a, b }\) zmieniają się w ten sposób , że ich suma długości jest stała, a więc długość trzeciego boku \(\displaystyle{ c }\) przy stałym obwodzie też jest stała, to w przypadku gdy iloczyn długości boków \(\displaystyle{ a\cdot b }\) osiąga wartość największą - otrzymujemy równość \(\displaystyle{ a = b. }\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: Optymalny trójkąt prostokątny

Post autor: bedbet »

Dziękuję za wskazówki.
ODPOWIEDZ