Pole trójkąta prostokątnego
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Pole trójkąta prostokątnego
Rzut prostopadły promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny podzielił przeciwprostokątną trójkąta na dwa odcinki. Wykaż, że pole tego trójkąta można wyrazić poprzez iloczyn długości otrzymanych odcinków.
Ma Ktoś pomysł na najprostszy sposób na to zadanie? Jak najszybciej to wykazać?
Ma Ktoś pomysł na najprostszy sposób na to zadanie? Jak najszybciej to wykazać?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Pole trójkąta prostokątnego
\(\displaystyle{ a,b}\) - odcinki na przeciwprostokątnej
\(\displaystyle{ P=0,5(a+r)(b+r)}\) do tego Pitagoras do wyznaczenia \(\displaystyle{ r}\) (no prawie).
\(\displaystyle{ P=0,5(a+r)(b+r)}\) do tego Pitagoras do wyznaczenia \(\displaystyle{ r}\) (no prawie).
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pole trójkąta prostokątnego
Czy trzeba stosować twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości promienia \(\displaystyle{ r ?}\)
Co oznacza zwrot "no prawie" ?
\(\displaystyle{ a, \ \ b }\) - odcinki przeciwprostokątnej:
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot (a + r)\cdot (b+r) = 0,5\cdot ( a\cdot b +a\cdot r + b\cdot r + r^2) }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot [ a\cdot b + (a + b + r)\cdot r] }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + p \cdot r) , \ \ p = a + b + r }\) - połowa obwodu trójkąta
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + P) }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot a\cdot b + 0,5 \cdot P }\)
\(\displaystyle{ 0,5 \cdot P = 0,5\cdot a\cdot b }\)
\(\displaystyle{ P = a\cdot b. }\)
Co oznacza zwrot "no prawie" ?
\(\displaystyle{ a, \ \ b }\) - odcinki przeciwprostokątnej:
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot (a + r)\cdot (b+r) = 0,5\cdot ( a\cdot b +a\cdot r + b\cdot r + r^2) }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot [ a\cdot b + (a + b + r)\cdot r] }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + p \cdot r) , \ \ p = a + b + r }\) - połowa obwodu trójkąta
\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + P) }\)
\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot a\cdot b + 0,5 \cdot P }\)
\(\displaystyle{ 0,5 \cdot P = 0,5\cdot a\cdot b }\)
\(\displaystyle{ P = a\cdot b. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Pole trójkąta prostokątnego
\(\displaystyle{ P=0,5(a+r)(a+r)=0,5[ab+(ar+br+r^2)]}\)
\(\displaystyle{ (a+r)^2+(b+r)^2=(a+b)^2}\) z ostatniego \(\displaystyle{ ar+br+r^2=ab}\) czyli ,,no prawie".
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Re: Pole trójkąta prostokątnego
Te rozwiązania znam, dzięki za pomoc. Szukam jakiegoś sposobu geometrycznego na to zadanie. Jak zmieścić ten trójkąt w prostokącie. Nie bardzo też rozumiem uzasadnienia z zagranicznej Wikipedii. Mianowicie jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą przyprostokątnymi w trójkącie, zaś \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) omawianymi odcinkami przeciwprostokątnej to wówczas:
\(\displaystyle{ x=p-a \\ y=p-b}\)
Więc pole będzie wyrażało się wzorem:
\(\displaystyle{ P=(p-a)(p-b)=xy}\)
\(\displaystyle{ x=p-a \\ y=p-b}\)
Więc pole będzie wyrażało się wzorem:
\(\displaystyle{ P=(p-a)(p-b)=xy}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Pole trójkąta prostokątnego
Trójkąt można podzielić na kwadrat o boku \(\displaystyle{ r}\), oraz dwie pary trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a-r}\) i \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ b-r}\) i \(\displaystyle{ r}\), a stąd:
\(\displaystyle{ P_{\Delta}=r^2+2 \cdot \frac{1}{2} (a-r)r+2 \cdot \frac{1}{2} (b-r)r=r(a+b)-r^2}\)
Teraz iloczyn z zadania
\(\displaystyle{ (a-r)(b-r)=ab-r(a+b)+r^2=2P_{\Delta}-\left[ r(a+b)-r^2\right]=... }\)
po wstawieniu pierwszej zależności daje:
\(\displaystyle{ ...=2P_{\Delta}-P_{\Delta}=P_{\Delta}}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta}=r^2+2 \cdot \frac{1}{2} (a-r)r+2 \cdot \frac{1}{2} (b-r)r=r(a+b)-r^2}\)
Teraz iloczyn z zadania
\(\displaystyle{ (a-r)(b-r)=ab-r(a+b)+r^2=2P_{\Delta}-\left[ r(a+b)-r^2\right]=... }\)
po wstawieniu pierwszej zależności daje:
\(\displaystyle{ ...=2P_{\Delta}-P_{\Delta}=P_{\Delta}}\)