Punkt w trójkącie
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Punkt w trójkącie
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) jest \(\displaystyle{ AB=CD}\) (wysokość). Zbudowane są kwadraty \(\displaystyle{ DBEF}\) i \(\displaystyle{ ADGH}\) przy czym \(\displaystyle{ F, G}\) są na \(\displaystyle{ CD}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ CD, \ AE, \ BH}\) mają punkt wspólny
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Punkt w trójkącie
Założenia:
Niech odcinek AE przecina CD w punkcie P, a odcinek BH przecina CD w punkcie Q,
1. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| PD\right| }{\left|AD \right| } = \frac{\left| BE\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| PD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
2. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| QD\right| }{\left|BD \right| } = \frac{\left| AH\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| QD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
3. z 1. i 2. wynika iż P=Q
wymuszają położenie punktu D na odcinku AB (przypadek skrajny, punkt D jest końcem odcinka AB, degeneruje jeden z kwadratów do punktu).mol_ksiazkowy pisze: ↑7 paź 2021, o 18:14 \(\displaystyle{ AB=CD}\) (wysokość). (...) przy czym \(\displaystyle{ F, G}\) są na \(\displaystyle{ CD}\).
Niech odcinek AE przecina CD w punkcie P, a odcinek BH przecina CD w punkcie Q,
1. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| PD\right| }{\left|AD \right| } = \frac{\left| BE\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| PD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
2. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| QD\right| }{\left|BD \right| } = \frac{\left| AH\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| QD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
3. z 1. i 2. wynika iż P=Q