Matematyka.pl

Jakie jest maksymalne pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ AP, BP, CP}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest punktem wewnętrznym trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 1}\) ?

Sprawdź może przypadki skrajne, kiedy P jest w pobliżu wierzchołka dwa boki będą dążyć do 1, jeden do 0 więc słabo, kiedy P jest na środku jednego z boków dwa dążą do 1/2, jeden do \(\displaystyle{ 1/2 \sqrt{3}}\), kiedy P jest środkiem ciężkości wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1/3 \sqrt{3}}\), to powinien być jakiś punkt zaczepienia do udowodnienia dlaczego jest tak jak jest

Z rysunku zauważamy, że pole trójkąta o bokach AP, BP, i CP jest równe trzeciej części pola trójkąta ABC.
Wiedząc jednocześnie, że pole trójkąta o stałej mierze obwodu osiąga maksimum wtedy, kiedy jest on trójkątem równobocznym o boku miary trzeciej części jego obwodu.
Stąd pole trójkąta tak zbudowanego jak polecono w zadaniu jest równe trzeciej części pola trójkąta o boku miary 1.