Trójkąt prostokątny równoramienny.

[dawido000]

Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz \(\displaystyle{ T\cap T'}\).

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?

[robin5hood]

Pole części wspólnej tych trójkątów (\(\displaystyle{ T\cap T_1}\)) to pole \(\displaystyle{ 4}\) przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości \(\displaystyle{ h}\) w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. \(\displaystyle{ a}\) i przeciwprost. dł. \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a}\)

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi \(\displaystyle{ 15^\circ}\)). Mając długość \(\displaystyle{ h}\) i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy \(\displaystyle{ x}\). Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ}\)

Teraz pole:
\(\displaystyle{ P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ}\)

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}}\)

Podstawiając mamy ostatecznie: \(\displaystyle{ P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2}\)

[hubert632]

Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?

[Gawroon7]

Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.

[anna_]

Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.

[Thuddy]

Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro \(\displaystyle{ a=5}\) to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. \(\displaystyle{ h^{2}= \frac{3}{4}a}\) No i wyszło mi że \(\displaystyle{ h= \frac{5\sqrt{3}}{2}}\). Więc dlaczego to jest źle?

[anna_]

A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ 5}\)?