Matematyka.pl

Niech P,Q i R będą środkami trzech wysokości trójkąta leżącymi na jednej prostej. Wykaż że jeden z kątów tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 90^o.}\)

Niech punkt\(\displaystyle{ R}\) będzie środkiem wysokości dowolnej miary \(\displaystyle{ 2|r|}\) i tworzącej z prostą \(\displaystyle{ t(P,Q,R)}\) dowolny kąt ostry.
Wtedy skrajne punkty wysokości o środku w \(\displaystyle{ R}\) można ustalić np. z rysunku, są to punkty \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) wyznaczające prostą do której jest prostopadły (warunek bycia \(\displaystyle{ AC}\) wysokością). Prostą tę określa jednoznacznie punkt krańcowy wysokości np \(\displaystyle{ A}\) i wymóg jej postopadłości.
Zauważamy, że do tej prostej przynależy ten bok trójkąta , bok \(\displaystyle{ AB \perp AC }\)
Podobnie, jeżeli \(\displaystyle{ P }\) połowi wysokość trójkąta prostopadłą do \(\displaystyle{ AC}\) , teraz podstawy trójkąta, to zauważamy, że raz jest jego wysokością a raz jego bokiem, podobnie \(\displaystyle{ AC}\) . Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są bokami trójkąta prostokątnego czego należało dowieść .