Matematyka.pl

Z dowolnych wierzchołów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) trójkąta narysowano przecinające się proste, które podzieliły go na trzy trójkąty o polach \(\displaystyle{ 2, 5, 7}\) i jeden czworokąt. Jakie jest jego pole ?

Lemat. Niech w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1}\) leżą na bokach \(\displaystyle{ BC, AC}\) odpowiednio, a punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia \(\displaystyle{ AA_1, BB_1}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \frac{AP}{PA_1}=\frac{\frac{CA_1}{A_1B}+1}{\frac{CB_1}{B_1A}}}\).

Oznaczając znane pola trójkątów przez \(\displaystyle{ a,b,c}\), a nieznane pole czworokąta przez \(\displaystyle{ x}\) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{b}{c}=\frac{\frac{a+x}{b+c}+1}{\frac{c+x}{a+b}}}\)

Mój wynik to \(\displaystyle{ x=\frac{ac(2b+a+c)}{b^2-ac}}\)

i teraz mamy chyba dwa rozwiązania, bo może być \(\displaystyle{ a=2,b=5,c=7}\) albo \(\displaystyle{ a=2,b=7,c=5}\).