Trójkąt równoboczny?

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 39 razy

Trójkąt równoboczny?

Post autor: klimat » 13 cze 2021, o 12:27

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) środkowa \(\displaystyle{ AM}\), dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BL}\) i wysokość \(\displaystyle{ CH}\) przecinają się w jednym punkcie. Czy ten trójkąt musi być równoboczny? Uzasadnij odp.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2021, o 12:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Trójkąt równoboczny?

Post autor: matmatmm » 14 cze 2021, o 00:30

Wedle moich obliczeń tak być nie musi. Własność powyższa zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest ostry oraz \(\displaystyle{ \ctg \gamma =\ctg \beta +\ctg\frac{\beta}{2}-\tg\beta}\). Dla każdego ostrego kąta \(\displaystyle{ \beta}\) istnieje dokładnie jeden kąt \(\displaystyle{ \gamma(\beta)\in (0,180^{\circ})}\) dla którego zachodzi ta równość. Funkcja obliczająca \(\displaystyle{ \gamma}\) na podstawie \(\displaystyle{ \beta}\) jest rosnąca, a ponadto istnieje pewien kąt graniczny \(\displaystyle{ \beta_0}\) taki, że \(\displaystyle{ \beta_0+\gamma(\beta_0)=180^{\circ}}\). Obliczenia numeryczne wskazują, że \(\displaystyle{ \beta_0\approx 67^{\circ}}\). Wystarczy więc dobrać kąt \(\displaystyle{ \beta\neq 60^{\circ}, \beta <\beta_0 }\) i znaleźć \(\displaystyle{ \gamma}\) spełniające naszą równość. Wtedy dla się utworzyć trójkąt o kątach \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) i trójkąt ten nie będzie równoboczny.

ODPOWIEDZ