Równość kątów

[Mondo]

Witam,

mam problem z uzyskaniem równości kątów `QRH` oraz `HRP`

Kod: Zaznacz cały

https://i2.paste.pics/84d1e0f5ebe82534b27347fa52032cbb.png

Widzę wszystkie wcześniejsze stwierdzenia autora, czyli np. \(\displaystyle{ QRH = QAH}\) Podobnie widzę jak autor stworzył okrąg na podstawie czterech punktów `P`, `H`, `R` oraz `B`, natomiast nie mam pojecia jak doszedł do równości kątów `QRH` oraz `HRP`. Dziękuję za pomoc w wyznaczeniu tego.

[JHN]

Zrób schludny rysunek, wraz z trzema okręgami o średnicach - bokach trójkąta. Okręgi te przecinają się parami na bokach trójkąta, wyznaczając tzw. trójkąt spodkowy. Zauważ, "przeskakując" z okręgu na okrąg, równości kątów wpisanych opartych na tych samych łukach....

Pozdrawiam

[Mondo]

@JHN, wykonałem rysunek pomocniczy, ale powiem szczerze że dalej nie widzę relacji `\angle QRH=\angle HRP` ->

Kod: Zaznacz cały

https://i2.paste.pics/342ff79c9bca6f84b80cd09422b61fd9.png

Mówisz o równości kątów opartych na tych samych łukach, ale to przecież można stosować tylko, gdy katy te są wpisane w ten sam okrąg. A wspomniane wyżej katy nie leżą na jednym okręgo prawda? Jak więc zobaczyc te równośc?

[JHN]

Twój rysunek jest trochę za bliski równoboczności trójkąta, ale trudno...

A wspomniane wyżej katy nie leżą na jednym okręgu prawda?

Nie na okręgu, ale.. na trzech kołach!

Jak więc zobaczyć te równość?

Uzupełnij rysunek o wierzchołki \(\displaystyle{ A,B,C}\) trójkąta tak, aby współliniowe były:
\(\displaystyle{ A,H,R}\);
\(\displaystyle{ B,H,Q}\);
\(\displaystyle{ C,H,P}\). Zachodzą wtedy równości
1) \(\displaystyle{ |\angle QRH|=|\angle QRA|=|\angle QBA|}\) po najniższym okręgu,
2) \(\displaystyle{ |\angle QBA|=|\angle QBP|=|\angle QCP|}\) po prawym okręgu,
3) \(\displaystyle{ |\angle QCP|=|\angle ACP|=|\angle ARP|=|\angle HRP|}\) po lewym okręgu.

Pozdrawiam
PS. Mam nadzieję, że nie trafił mi się bad-click

[edited] poprawa czytelności postu

[Mondo]

Dzięki, jak najbardziej z Twoich zależności wynika równość wspomnianych kątów. Wydaje mi się jednak iż autor bardziej chciał się oprzeć na dwóch okregach powstałych z punktów \(\displaystyle{ PRB}\) oraz \(\displaystyle{ QAR}\) jak na rysunku

Kod: Zaznacz cały

https://i2.paste.pics/5b38ec2bd79f65e9c45dee67f134616d.png

. Zastanawiam się jak można by udowodnić równość tych kątów z tego rysunku - oba okręgi mają tylko dwa punkty wspólne `H` oraz `R`, czy można tutaj jakoś zastosować twierdzenie o kątach opartych na tych samych łukach? Pomimo tego iż trzeci punkt jest poza okręgiem?