Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta

[41421356]

Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 10, \frac{10\sqrt{61}}{9}, x}\). Kąt pomiędzy bokami \(\displaystyle{ 10}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ 60°}\). Oblicz długość \(\displaystyle{ x}\) trzeciego boku trójkąta.

No i tutaj podczas wykorzystania twierdzenia kosinusów rodzą się dwa pytania:

1.) Dlaczego sytuacja jest niejednoznaczna i wychodzą dwa rozwiązania \(\displaystyle{ 4\frac{4}{9}}\) lub \(\displaystyle{ 5\frac{5}{9}}\)?

2.) Skąd mam wiedzieć które rozwiązanie odrzucić?

[piasek101]

\(\displaystyle{ x>5}\)
Poprowadź wysokość trójkąta na bok \(\displaystyle{ x}\), to zobaczysz.

[edit] Nie czekaj - jeszcze patrzę.
[edit1,22:56] Mogą być obie długości - chyba, że jeszcze coś jest w zadaniu.

A swoją drogą to z tą wysokością można rozwiązać zadanie tylko za pomocą Pitagorasa.

[41421356]

Nie bardzo widzę to rozwiązanie z tą wysokością. Poza tym nie powinien wyjść tylko jeden przypadek? Czy informacja o dwóch bokach i kącie nie określa nam trójkąta jednoznacznie?

[Jan Kraszewski]

Czy informacja o dwóch bokach i kącie nie określa nam trójkąta jednoznacznie?

Nie. Narysuj bok \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ 10}\) oraz półprostą \(\displaystyle{ k}\), zaczynającą się w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i tworzącą z prostą \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Jeżeli narysujesz okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ B}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{61}}{9}}\), to ten okrąg przecina półprostą \(\displaystyle{ k}\) w dwóch punktach.

Sytuację graniczną, gdy jest dokładnie jeden trójkąt, miałbyś gdybyś zastąpił \(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{61}}{9}}\) przez \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}. }\)

JK

[41421356]

Po rozrysowaniu tej sytuacji w programie graficznym już wszystko jasne. Po prostu jeden trójkąt wyjdzie ostrokątny, a jeden rozwartokątny. Dziękuję za pomoc.

[piasek101]

A z tą wysokością już wiesz jak rozwiązać ?

[41421356]

A z tą wysokością już wiesz jak rozwiązać ?

Wydaję mi się, że po wyliczeniu tej wysokości i rozrysowaniu całej sytuacji równanie z twierdzeniem Pitagorasa będzie następujące:

\(\displaystyle{ \left(x-5\right)^2+\left(5\sqrt{3}\right)^2=\left(\frac{10\sqrt{61}}{9}\right)^2}\)

[piasek101]

W zasadzie tak.

Widzimy trójkąt (trójkąty) prostokątne o bokach \(\displaystyle{ y; 5\sqrt 3; \frac{10\sqrt{61}}{9}}\).
Z Pitagorasa dostajesz y-greka.

Zatem : \(\displaystyle{ x=5+y}\) lub \(\displaystyle{ x=5-y}\).