Dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie

Post autor: kt26420 »

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą długościami boków trójkąta prostokątnego (\(\displaystyle{ c}\) jest długością przeciwprostokątnej). Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ a^x+b^x=c^x}\)ma dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie.
Poszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 22 lut 2021, o 10:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu. Zły dział.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie

Post autor: Janusz Tracz »

Widać, że \(\displaystyle{ x=2}\) jest rozwiązaniem. A to, że jest jedyne wynika z tego, że równanie \(\displaystyle{ a^x+b^x=c^x}\) można zapisać równoważnie \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{c} \right)^x+ \left( \frac{b}{c} \right)^x=1}\). A jako, że liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{c},\frac{b}{c}}\) są mniejsze od jeden to wyrażanie \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{c} \right)^x+ \left( \frac{b}{c} \right)^x}\) jest malejące ze względu na \(\displaystyle{ x}\) (i ciągłe). Zatem znalezione rozwiązanie jest jedynym.
ODPOWIEDZ