Środkowa trójkąta

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić wzór na środkową \(\displaystyle{ \frac{c \sqrt{\sin^2 A + \sin^2 B + 2 \sin A \sin B \sin C} }{2\sin C} }\).

[kerajs]

Środkową \(\displaystyle{ \left| CC'\right| }\) oznaczam przez \(\displaystyle{ x}\).
W trójkącie \(\displaystyle{ ACC'}\):
\(\displaystyle{ x^2= \frac{c^2}{4}+b^2-bc\cos A}\)
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\):
\(\displaystyle{ a^2= c^2+b^2-2bc\cos A}\)
więc:
\(\displaystyle{ x^2= \frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2 \right) }\)
Ponadto w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} }\) co daje:
\(\displaystyle{ x^2= \frac{1}{4}\left(2\left( \frac{c\sin A}{\sin C} \right) ^2+2\left( \frac{c\sin B}{\sin C} \right) ^2-c^2 \right) \\
x= \frac{c}{2\sin C} \sqrt{2\sin^2A+2\sin^2B-\sin^2C}\\
x= \frac{c}{2\sin C} \sqrt{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}\\
x= \frac{c}{2\sin C} \sqrt{\sin^2A+\sin^2B+\sin A \sin (B+C)+\sin B \sin (A+C)-\sin^2C}\\
x= \frac{c}{2\sin C} \sqrt{\sin^2A+\sin^2B+2\sin A \sin B \cos C+\sin C( \sin A \cos B+\sin B\cos A)-\sin^2C}\\
x= \frac{c}{2\sin C} \sqrt{\sin^2A+\sin^2B+2\sin A \sin B \cos C}\\
}\)

Dodano po 2 dniach 3 godzinach 32 minutach 14 sekundach:
Przypuszczam, że niebieska funkcja:

Udowodnić wzór na środkową \(\displaystyle{ \frac{c \sqrt{\sin^2 A + \sin^2 B + 2 \sin A \sin B \blue{\sin} C} }{2\sin C} }\).

została błędnie przepisana.
Ponadto dla wybranych trójkątów można sprawdzić, że w takiej formie wzór będzie podawał nieprawdziwe wartości środkowych \(\displaystyle{ CC'}\) .