Dowód twierdzenia cosinusów

[tomnow]

Dzień dobry,

W książce "50 ważnych twierdzeń matematycznych z pełnymi dowodami" autorstwa Regel Wiesławy ( strona 49 ) znalazłem pewien dowód dotyczący twierdzenia cosinusów. Nie rozumiem dwóch rzeczy.

Najpierw dowód:

Dany mamy dowolny trójkąt ze standardowymi oznaczeniami kątów, boków oraz wierzchołków ( tzn. kąt alfa znajduje się naprzeciw boku a oraz przy wierzchołku A, kąt beta znajduje się naprzeciw boku b oraz przy wierzchołku B, kąt gamma znajduje się naprzeciw boku c oraz przy wierzchołku C ).

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{CB} , \vec{b} = \vec{CA}, \vec{c} = \vec{AB}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} }\)
\(\displaystyle{ (\vec{AB})^{2} = (\vec{CB} - \vec{CA})^{2} }\)
\(\displaystyle{ (\vec{AB})^{2} = (\vec{CB})^{2} + (\vec{CA})^{2} - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA} }\)
A wracając do poprzednich oznaczeń otrzymujemy tezę:
\(\displaystyle{ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos\gamma }\)

Niezrozumiałe dla mnie rzeczy:
1) \(\displaystyle{ (\vec{CB} - \vec{CA})^{2} }\)
Nie rozumiem za bardzo tego, że podnosząc wektor do kwadratu powstaje działanie iloczynu skalarnego wektorów. Podnosząc liczbę rzeczywistą do kwadratu wykonuję mnożenie danej liczby przez tą samą liczbę. A skąd wiadomo, że tutaj odpowiednikiem mnożenia będzie iloczyn skalarny? A dlaczego nie np. iloczyn wektorowy, albo jeszcze coś innego?
2) Przy założeniu, że jest jak w pytaniu 1 to czy dobrze kombinuję, że dla:
\(\displaystyle{ (\vec{AB})^{2} }\) będę miał \(\displaystyle{ c \cdot c \cdot \cos0}\),
a 0 przy funkcji cosinus, bo kąt między tymi wektorami jest zerowy, a cosinus dla zera wynosi jeden

[Jan Kraszewski]

Niezrozumiałe dla mnie rzeczy:
1) \(\displaystyle{ (\vec{CB} - \vec{CA})^{2} }\)
Nie rozumiem za bardzo tego, że podnosząc wektor do kwadratu powstaje działanie iloczynu skalarnego wektorów. Podnosząc liczbę rzeczywistą do kwadratu wykonuję mnożenie danej liczby przez tą samą liczbę. A skąd wiadomo, że tutaj odpowiednikiem mnożenia będzie iloczyn skalarny? A dlaczego nie np. iloczyn wektorowy, albo jeszcze coś innego?

Podniesienie do kwadratu to tylko skrót, możesz ten sam fragment rozumowania zapisać tak:

\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} }\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}\circ \vec{AB} = (\vec{CB} - \vec{CA})\circ (\vec{CB} - \vec{CA}) }\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}\circ \vec{AB} = \vec{CB}\circ \vec{CB} + \vec{CA}\circ \vec{CA} - 2 \vec{CB} \circ \vec{CA} }\)

Czy wtedy będziesz spokojniejszy?
Oczywiście, przy przekształceniach korzystamy z własności iloczynu skalarnego.

Niezrozumiałe dla mnie rzeczy:
2) Przy założeniu, że jest jak w pytaniu 1 to czy dobrze kombinuję, że dla:
\(\displaystyle{ (\vec{AB})^{2} }\) będę miał \(\displaystyle{ c \cdot c \cdot \cos0}\),
a 0 przy funkcji cosinus, bo kąt między tymi wektorami jest zerowy, a cosinus dla zera wynosi jeden

Dobrze kombinujesz.

JK

[a4karo]

Bo dla wektora podniesienie go do kwadratu oznacza pomnożenie go skalarnie przez siebie - taka konwencja. A ponieważ iloczyn skalarny wektora przez siebie jest kwadratem jego długości, więc...



Drugiego pytania nie rozumiem