Boki tójkata

[mol_ksiazkowy]

Ile różnych trójkątów można zbudować z odcinków o długościach \(\displaystyle{ 1, ..., n}\) ?

[a4karo]

Odcinek o długości `1` nie utworzy trójkąta z żadnymi innymi. Pozostaje zatem `n-1` odcinków i z nich można stworzyć \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{n-1}{3}\right\rfloor}\) trójkątów w następujący sposób:
\(\displaystyle{ n,n-1,2\\n-2,n-3,3\\n-4,n-5,4\\\dots}\)
aż do wyczerpania odcinków

[kerajs]

spostrzeżenie:    

Zakładam, może błędnie, iż chodzi o trzy różne liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ 2max \left\{ a,b,c\right\} <a+b+c }\), a \(\displaystyle{ S_n}\) jest liczbą takich trójek, gdy liczby pochodzą ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...n\right\} }\) .
Z obserwacji dla małych \(\displaystyle{ n}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ S_n=T_{n-3}+T_{n-5}+T_{n-7}+...}\)
gdzie \(\displaystyle{ T_k}\) jest k-tą liczbą trójkątną ( \(\displaystyle{ T_k= \frac{k(k+1)}{2} }\) )

[a4karo]

Jak widać interpretacja zadania nie jest jednoznaczna.

DLa `n=5` mamy trzy trójkąty `(2,3,4), (2,4,5), (3,4,5)` a to nie jest równe `T_2+T_1`

[kerajs]

Jak widać interpretacja zadania nie jest jednoznaczna.

DLa `n=5` mamy trzy trójkąty `(2,3,4), (2,4,5), (3,4,5)` a to nie jest równe `T_2+T_1`

Źle Pan spojrzał.

\(\displaystyle{
S_5=T_2\\
S_6=T_3+T_1\\
...\\S_{11}=T_8+T_6+T_4+T_2\\
S_{12}=T_9+T_7+T_5+T_3+T_1}\)
itd

[a4karo]

Racja, zwracam humor