W trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ a}\) tak wpisane są trzy przystające okręgi, że każdy z nich jest styczny do dwóch pozostałych i do dwóch boków trójkąta. Oblicz promień okręgu zewnętrznie stycznego do tych trzech okręgów.
Moje pytanie brzmi o położenie środka tego okręgu zewnętrznie stycznego do trzech pozostałych. Z rysunku pomocniczego wynika, że środek leży na przecięciu wysokości, ale czy na pewno tak jest? A jeśli tak, to prosiłabym o uzasadnienie.
Zadanie pochodzi z Olimpiady O Diamentowy Indeks AGH, edycja 2018/2019.
Okręgi wpisane w trójkąt
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Okręgi wpisane w trójkąt
Krótko - chociaż raczej można jeszcze krócej.
Każdy ze środków jednakowych trzech okręgów leży na innej wysokości trójkąta. Punkt przecięcia wysokości to \(\displaystyle{ S}\). Niech \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ B_1}\) to będą punkty wspólne jednej wysokości z pierwszym okręgiem, przy czym \(\displaystyle{ B_1}\) jest bliżej wierzchołka trójkąta. \(\displaystyle{ B_2}\) i \(\displaystyle{ B_3}\) analogicznie. Skoro \(\displaystyle{ |SB_1|=|SB_2|=|SB_3|}\) i leżą odpowiednio na trzech wysokościach. To środek opisanego na okręgach leży w \(\displaystyle{ S}\).
Każdy ze środków jednakowych trzech okręgów leży na innej wysokości trójkąta. Punkt przecięcia wysokości to \(\displaystyle{ S}\). Niech \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ B_1}\) to będą punkty wspólne jednej wysokości z pierwszym okręgiem, przy czym \(\displaystyle{ B_1}\) jest bliżej wierzchołka trójkąta. \(\displaystyle{ B_2}\) i \(\displaystyle{ B_3}\) analogicznie. Skoro \(\displaystyle{ |SB_1|=|SB_2|=|SB_3|}\) i leżą odpowiednio na trzech wysokościach. To środek opisanego na okręgach leży w \(\displaystyle{ S}\).