Tw. Talesa a środkowan trójkąta prostokątnego

[VanHezz]

Witam.

Czy na mocy twierdzenia Talesa jest możliwe udowodnienie, że w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z kąta prostego ma taką samą długość, co połowa długości przeciwprostokątnej?

Z faktu, że na takim trójkącie można opisać okrąg, łatwo widać, że środkowa to promień równy połowie przeciwprostokątnej czyli średnicy. Ale zastanawiam się nad tym Talesem.

[matmatmm]

W pewnym sensie tak. W trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) o kącie prostych przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) prowadzimy ze środka \(\displaystyle{ S}\) przeciwprostokątnej prostą \(\displaystyle{ l}\) równoległą do \(\displaystyle{ AC}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w pewnym punkcie \(\displaystyle{ P}\) (wniosek z aksjomatu Pascha). \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), co wynika z twierdzenia o odcinku równoległym do postawy trójkąta i przechodzącym przez środek ramienia, a jest to szczególny przypadek twierdzenia Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{CP}{BP}=\frac{AS}{BS}=1}\)

Ponadto z równoległości prostej \(\displaystyle{ l}\) do \(\displaystyle{ AC}\) i z \(\displaystyle{ \angle ACB=90^{\circ}}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ l\perp BC}\) (kąty odpowiadające są równe). A więc w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle BCP}\) odcinek \(\displaystyle{ PS}\) jest zarówno środkową, jak i wysokością. Zatem trójkąt \(\displaystyle{ \triangle BCP}\) jest równoramienny (bo \(\displaystyle{ \triangle BPS\equiv \triangle CPS}\) z cechy b-k-b).

[kruszewski]

Najpierw trzeba wykazać podobieństwo trókątów
\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i \(\displaystyle{ \Delta FEC}\) korzystając z warunku \(\displaystyle{ KKK}\).
Przecinając ramiona kąta \(\displaystyle{ \angle CAH}\) i \(\displaystyle{ \angle ABC}\) parami prostych \(\displaystyle{ m || (AB)}\) i \(\displaystyle{ l || m}\), oraz \(\displaystyle{ (HB) ||n || (AC)}\) z tw. Talesa możemy napisać :
\(\displaystyle{ \frac{\overline {AH}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{EH}}{\overline{EG}} = \frac{\overline {EH}}{ \frac{\overline {AC}}{2} } }\)
\(\displaystyle{ \frac{\overline {AH}}{\overline {AC}} = \frac{2\overline{EH}}{\overline {AC}} }\) , stąd \(\displaystyle{ \overline {EH}= \frac{\overline {AH}}{2} = \frac{\overline {BC}}{2} }\)
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{\overline {FA}}{\overline {AE}} = \frac{\overline {AC}}{\overline {AH}} }\),
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{\overline {FA} \cdot \overline {AH}}{\overline {AC}}= \overline {AE}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{\overline {FA} \cdot \overline {BC}}{2 \overline {AF}} = \overline {AE}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\overline {AH}}{\overline {AC}} = \frac{2 \overline {EH}}{ \overline {AC}} }\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \overline {AE}= \frac{1}{2} \overline {BC}}\), cbdo.

[matmatmm]

kruszewski, Twój dowód jest moim zdaniem przekombinowany. Można go uprościć w następujący sposób:

Niech \(\displaystyle{ H}\) leży na przedłużeniu środkowej \(\displaystyle{ AE}\) tak, że \(\displaystyle{ AE=EH}\). Wówczas czworokąt \(\displaystyle{ ABHC}\) jest równoległobokiem, bo jego przekątne się połowią. Jeden z kątów tego równoległoboku tzn. \(\displaystyle{ \angle BAC}\) jest prosty, więc \(\displaystyle{ ABHC}\) jest prostokątem, a w prostokącie przekątne są równej długości.

Twierdzenie Talesa nie jest tu nigdzie potrzebne, wystarczą cechy przystawania i własności prostych równoległych.

Edit. Nawiasem mówiąc z samego rysunku ciężko jest mi odtworzyć rozumowanie, bo nie wiem jak powstał punkt \(\displaystyle{ H}\). Czy powstał on tak samo jak u mnie, czy na przykład jako przecięcie prostej \(\displaystyle{ AE}\) z prostą równoległą do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ C}\)?

[kruszewski]

Tylko pozornie.
Kolega VanHezz postawił pytanie o dowodzenie twierdzeniem Talesa. Zatem proporcjami odcinków wyciętych równoległymi z ramion kąta, lub kątów w tym trójkącie.

Dodano po 1 godzinie 50 minutach 31 sekundach:
Rysunkiem podstawowym jest rysunek trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) (narysowanego grubszą linią) i punkt \(\displaystyle{ E}\) połowiący przeciwprostokatną \(\displaystyle{ BC}\).
Punkt \(\displaystyle{ H }\) przynależy do obu konstruowanych prostych \(\displaystyle{ p(AE) }\) i \(\displaystyle{ l (C, \perp (AC)) }\)
i jest konstruowany.