Parafraza 2020

[Elayne]

Ile jest trójkątów prostokątnych w których długości boków trójkąta są liczbami naturalnymi i są mniejsze od \(\displaystyle{ 2020}\)?

[Elayne]

Takich trójkątów prostokątnych mamy dwie dziesiątki setek bez jednego t.j. \(\displaystyle{ 1999.}\)

[Niepokonana]

A jak to Pan policzył?

[Elayne]

W temacie z ankietą, trójki liczb zostały wygenerowane przez program i niejako przy okazji zostały policzone. Podano wynik: \(\displaystyle{ 1998.}\) Jeśli ilość trójek liczono od \(\displaystyle{ 0}\) to wynik jest poprawny, jeśli liczono od \(\displaystyle{ 1}\) to wynik jest zaniżony. Ankieta - parafraza 2020

Żeby odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu, możemy w tym przypadku przyjąć bardzo różnorodną strategię. Na przykład, możemy szukać trójek dla kolejnych liczb by potem je zliczyć - przykład takiego podejścia: Zapisz układ równań i wyznacz boki trójkąta . Jest to rozwiązanie czasochłonne i pracochłonne podatne na liczne pomyłki w obliczeniach. Tak na marginesie, raczej kiepsko mi wychodzi wyjaśnianie rozwiązań i gdybym spróbował opisać jak to policzyłem byłoby to raczej niezrozumiałe dla większości osób. Dlatego przedstawię inne rozwiązanie zadania, które mam nadzieję, że będzie zrozumiałe mimo, że jest tutaj znacznie więcej do policzenia.

Skorzystamy z własności liczb kwadratowych.
Liczby kwadratowe:
\(\displaystyle{ 0 + 1 = 1 \ \text{pierwsza grupa} \\
0 + 1 + 3 = 4 \ \text{druga grupa} \\
0 + 1 + 3 + 5 = 9 \ \text{trzecia grupa} \\
0 + 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \ \text{czwarta grupa} \\
0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 \ \text{piąta grupa}}\)
itd.
Zero jest tutaj na specjalnych prawach, dla wygody je pomińmy i przyjmijmy, że go tu nie ma [jeśli przy interpretacji graficznej tak zrobimy to otrzymamy niepoprawny wynik]. Zwróćmy uwagę na fakt, że liczba kwadratowa jest sumą kolejnych liczb nieparzystych. W rozwiązaniu podzielimy liczby na grupy w zależności od ilości liczb nieparzystych w sumie. Mamy maksymalnie \(\displaystyle{ 45}\) grup do rozpatrzenia bo \(\displaystyle{ 45^2 > 2020.}\)

Grupa pierwsza:
Struktura liczb dla tej grupy:
\(\displaystyle{ 0 + 1 = 1 \\
0 + 3 = 3 \\
0 + 5 = 5 \\
0 + 7 = 7 \\
0 + 9 = 9 }\)
itd. - mamy tu sumy liczb które są kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Z twierdzenia Pitagorasa, jeśli \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\) to \(\displaystyle{ a^2 = c^2 - b^2.}\) Dodatkowo z przyjętego założenia mamy, że różnica \(\displaystyle{ c - b}\) jest równa ilości liczb nieparzystych w sumie. Na przykład w grupie pierwszej mamy \(\displaystyle{ c - b = 1,}\) w grupie drugiej \(\displaystyle{ c - b = 2}\) itd. Ponadto \(\displaystyle{ a,b,c}\) to liczby dodatnie mniejsze od \(\displaystyle{ 2020}\) i większe od zera.
Liczenie trójek w danej grupie podzielimy na dwa etapy. W pierwszym etapie wypiszemy trójki pierwotne a w drugim etapie policzymy ile jest wielokrotności takich trójek.
Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli \(\displaystyle{ a, b \ i \ c}\) nie mają wspólnego dzielnika większego od \(\displaystyle{ 1.}\) Jeżeli trójka \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) jest pitagorejska, to jest nią też \(\displaystyle{ (da,db,dc),}\) dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ d.}\) Przyjmiemy tutaj skróconą notację, zamiast pisać: \(\displaystyle{ (da,db,dc)}\) napiszemy \(\displaystyle{ d(a,b,c)}\) gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest największą wielokrotnością spełniającą założenia dla danej trójki pierwotnej.
Etap pierwszy - trójki pierwotne.
\(\displaystyle{ 1}\) - nie spełnia założeń;
\(\displaystyle{ 3,4,5 \\
5,12,13 \\
7,24,25 \\
9,40,41 \\
11,60,61 \\
13,84,85 \\
15,112,113 \\
17,144,145 \\
19,180,181 \\
21,220,221 \\
23,264,265 \\
25,312,313 \\
27,364,365 \\
29,420,421 \\
31,480,481 \\
33,544,545 \\
35,612,613 \\
37,684,685 \\
39,760,761 \\
41,840,841 \\
43,924,925 \\
45,1012,1013 \\
47,1104,1105 \\
49,1200,1201 \\
51,1300,1301 \\
53,1404,1405 \\
55,1512,1513 \\
57,1624,1625 \\
59,1740,1741 \\
61,1860,1861 \\
63,1984,1985}\)

Etap drugi - wielokrotności trójek
\(\displaystyle{ 403(3,4,5) \\
155(5,12,13) \\
80(7,24,25) \\
49(9,40,41) \\
33(11,60,61) \\
23(13,84,85) \\
17(15,112,113) \\
13(17,144,145) \\
11(19,180,181) \\
9(21,220,221) \\
7(23,264,265) \\
6(25,312,313) \\
5(27,364,365) \\
4(29,420,421) \\
4(31,480,481) \\
3(33,544,545) \\
3(35,612,613) \\
2(37,684,685) \\
2(39,760,761) \\
2(41,840,841) \\
2(43,924,925) \\
1(45,1012,1013) \\
1(47,1104,1105) \\
1(49,1200,1201) \\
1(51,1300,1301) \\
1(53,1404,1405) \\
1(55,1512,1513) \\
1(57,1624,1625) \\
1(59,1740,1741) \\
1(61,1860,1861) \\
1(63,1984,1985)}\)

Jeśli teraz zsumujemy liczby stojące przed nawiasami to otrzymamy ilość trójek pitagorejskich w pierwszej grupie.

Robimy podobnie dla pozostałych grup.
Grupa druga:
Struktura liczb dla tej grupy:
\(\displaystyle{ 0 + 1 + 3 = 4 \\
0 + 3 + 5 = 8 \\
0 + 5 + 7 = 12 \\
0 + 7 + 9 = 16 \\
0 + 9 + 11= 20 }\)
itd.
Etap pierwszy:
\(\displaystyle{ 4}\) - nie spełnia założeń;
\(\displaystyle{ 8,15,17 \\
12,35,37 \\
16,63,65 \\
20,99,101 \\
24,143,145 \\
28,195,197 \\
32,255,257 \\
36,323,325 \\
40,399,401 \\
44,483,485 \\
48,575,577 \\
52,675,677 \\
56,783,785 \\
60,899,901 \\
64,1023,1025 \\
68,1155,1157 \\
72,1295,1297 \\
76,1443,1445 \\
80,1599,1601 \\
84,1763,1765 \\
88,1935,1937 }\)

Etap drugi - wielokrotności trójek
\(\displaystyle{ 118(8,15,17) \\
54(12,35,37) \\
31(16,63,65)}\)
(…)