Dowód trójkąty

[jul1a]

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem Brokara trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) , \(\displaystyle{ R}\) promieniem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\) a \(\displaystyle{ R_1,R_2,R_3 }\) promieniami okręgów opisanych na \(\displaystyle{ ABP,BCP,CAP}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 = R^3}\).

Na początek korzystam z tw sinusów czyli : \(\displaystyle{ R_1 = \dfrac{AB}{2\sin(APB)}, R_2 = \dfrac{BC}{2\sin(BPC)}, R_3 = \dfrac{CA}{2\sin(CPA)}}\) jednak dalej nie mam pomysłu jak uzależnić\(\displaystyle{ R_1,R_2,R_3 }\) od \(\displaystyle{ R}\).

[niunix98]

Oznaczmy \(\displaystyle{ \varphi = \angle BAP = \angle CBP = \angle ACP}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ \angle APB = 180^{\circ} - \angle BAP - \angle ABP = 180^{\circ} - \varphi - (\beta - \varphi) = 180^{\circ} - \beta}\). Analogicznie z pozostałymi kątami. Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów (wszystkie iloczyny oczywiście cykliczne):

\(\displaystyle{ \prod \frac{R_1}{R} = \prod \frac{\frac{AB}{2 \sin \angle APB}}{\frac{AB}{2 \sin \gamma}} = \prod \frac{\sin \gamma}{\sin \angle APB} = \prod \frac{\sin \gamma}{\sin (180^{\circ} - \beta)} = 1 \ \square}\)