Podobieństwo trójkąta w wyprowadzeniu wz. na przysp. dośrodkowe

[Syrakuzyjczyk]

Dzień dobry Koleżankom i Kolegom,
nauka od podstaw z e-podręcznika eFizyka PW -- kłopot z podstawowym wyprowadzeniem wzoru na

Kod: Zaznacz cały

http://ilf.fizyka.pw.edu.pl/podrecznik/1/1/4?type=accessible#topic_1_h1.4__rys39

(ruch jednostajny) za pomocą podobieństwa trójkątów:

Kod: Zaznacz cały

http://ilf.fizyka.pw.edu.pl/podrecznik/images/image218.svg

-- cyt.:

Przenieśmy wektor prędkości z punktu \(\displaystyle{ P}\) do punktu \(\displaystyle{ P'}\). Wektor prędkości w punkcie \(\displaystyle{ P'}\) możemy traktować jako wynik dodania do wektora \(\displaystyle{ \vec v}\) przyrostu wektora \(\displaystyle{ Δ \vec v}\). Bardzo mały łuk \(\displaystyle{ s}\) możemy uważać za odcinek prostej. Wtedy trójkąt \(\displaystyle{ OPP'}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ P'AB}\) i możemy napisać proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{s}{r} = \frac{Δv}{v}}\)

Na jakiej podstawie \(\displaystyle{ \triangle_{OPP'} \sim \triangle_{P'AB}}\)?

Widzę tyle: \(\displaystyle{ Δ \vec v}\) maleje proporcjonalnie do \(\displaystyle{ s \propto \alpha}\) oraz mamy: \(\displaystyle{ \left| \vec v \right| = \left| AP' \right| \overset{\mathrm{def}}{=\mathrel{\mkern-3mu}=} \left| BP' \right| = \left| \vec v' \right|}\) i \(\displaystyle{ \left| PO \right| = \left| P'O \right| = r}\), czyli najbliższa cecha podobieństwa jest BKB. Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| \angle POP' \right| = \left| \angle AP'B \right|}\)?

Z góry dziękuję za oświecenie i cierpliwość!
(oraz ew. wyrozumiałość -- pierwszy post na forum )

[Janusz Tracz]

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| \angle POP' \right| = \left| \angle AP'B \right|}\)?

By to wykazać nie jest konieczne przybliżenia łuku odcinkiem, równość tych kątów zachodzi zawsze. Wyobraź sobie ten rysunek gdy punkt \(\displaystyle{ P}\) jest na dziewiątej a \(\displaystyle{ P'}\) na dwunastej. Wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) oczywiście nie zmienił długości ale rotował z położenia pionowo do góry do poziomo w prawo. Pamiętaj, że wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) jest zawsze styczny przez co tworzy z promieniem poprowadzonym do punktu styczności kąt prosty. Oczywiście to jak dotąd nie jest dowodem ale by to sformalizować zauważ, że jeśli masz poziom \(\displaystyle{ \left| PO\right| }\) i pion \(\displaystyle{ \vec{v} }\) to jeśli obrócisz poziom o kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) tworząc \(\displaystyle{ \left| OP'\right| }\) to piony też o tyle się obrócą, pionem po obrocie jest oczywiście \(\displaystyle{ \vec{v'} }\), stąd wynika, że pomiędzy \(\displaystyle{ \vec{v} }\) a \(\displaystyle{ \vec{v'} }\) jest kąt \(\displaystyle{ \alpha }\).

Innymi słowy jak masz ekierkę z katem prostym i złapiesz ją w rogu (nie przy kącie prostym) i obrócisz o \(\displaystyle{ \alpha }\) to wiadomo, że podstawa z punktem obrotu obróci się o \(\displaystyle{ \alpha }\) ale przecież druga przyprostokątna ekierki też obróci się o \(\displaystyle{ \alpha }\) (wszak to bryła sztywna rotująca tak samo).

[kruszewski]

Proszę zwrócić uwagę na wzajemną prostopadłość odpowiednich boków trójkątów.