Suma pierwszych 100 liczb naturalnych przedstawiona jako pole trójkąta

[JoeLevis]

Witam,

Ostatnio naszła mnie taka myśl, jeśli chciałbym policzyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{100} n}\), to wpadł mi pomysł, żeby zsumować kolejne wartości 'słupków' na osi liczbowej, tj gdyby dla\(\displaystyle{ f(1) = 100}\), potem\(\displaystyle{ f(2)=99}\),\(\displaystyle{ f(3)=98}\) itd., to dostaniemy malejące 'słupki wartości', wystarczyłoby zsumować wartości tych słupków czyli \(\displaystyle{ 100+99+98...}\) co za tym idzie, jeśli połączyć szczyty tych słupków i zobrazować to geometrycznie, to dostajemy trójkąt prostokątny równoramienny opisany osią rzędnych z \(\displaystyle{ y_{max}=100}\)(maksymalna wartość w przedziale 1-100), oraz na \(\displaystyle{ x \in \left<1;100\right>}\) (ilość liczb, które bierzemy pod uwagę), natomiast przeciwprostokątna jest odcinkiem który leży na szczytach tych 'słupków', w zwiazku z czym zsumowanie wartości tych 'słupków' sprowadzałoby się do policzenia pola takiego trójkąta, co daje nam \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot 100\right) \cdot 100 = 5000}\) natomiast przecież \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{100} n =5050}\). Skąd bierze się to dodatkowe \(\displaystyle{ 50}\)?

[kerajs]

Ty łączysz przeciwprostokątną lewe górne wierzchołki prostokątnych słupków. Odcina ona 50 trójkącików prostokątnych o przyprostokątnych równych 1. Suma ich pól to brakujące 50.

[a4karo]

To nie jest kwadrat lecz prostokąt

[JoeLevis]

Ty łączysz przeciwprostokątną lewe górne wierzchołki prostokątnych słupków. Odcina ona 50 trójkącików prostokątnych o przyprostokątnych równych 1. Suma ich pól to brakujące 50.

Fakt, doszedłem do tego właśnie w miedzyczasie, rysując to ładnie w kratkach to zauważyłem, dzięki ślizczne i tak

Druga sprawa, chcąc się pobawić na wstępie do analizy, zauważyłem, że skoro całka jest polem pod wykresem funkcji, to skoro taka całka byłaby opisana wzorem \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{100} -x+100 dx}\) i chcąc w ten sposób policzyć pole pod takim wykresem dostaniemy z takiej całki przecież
\(\displaystyle{ f(x)=-1+C}\) tak? więc o co tu chodzi?

Przepraszam jeśli zadaję głupie pytania, ponad liceum humanistyczne jestem zupełnym samoukiem i dopiero z ciekawości próbuję się tym bawić i jeszcze paru rzeczy nie rozumiem

[kerajs]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{100} (-x+100) dx=( \frac{-1}{2}x^2+100x) \bigg|_{0}^{100}=(\frac{-1}{2} \cdot 100^2+100 \cdot 100)-(\frac{-1}{2} \cdot 0^2+100 \cdot 0)=5000 }\)

[mol_ksiazkowy]

przedstawiona jako pole

\(\displaystyle{ t_n + t_{n+1}= (n+1)^2}\)