Tangens kąta w trójkącie

[qwerty355]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Dany jest trójką \(\displaystyle{ ABC}\) taki, że \(\displaystyle{ |AC| = 2|AB|}\). Miara kąta \(\displaystyle{ ACB}\) jest o \(\displaystyle{ 30^\circ}\) mniejsza od miary kąta \(\displaystyle{ ABC}\). Oblicz tangens kąta \(\displaystyle{ ACB}\).
Rozwiązałem to zadanie korzystając z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{
\frac{x}{\sin(\alpha - 30 ^{o})} = \frac{2x}{\sin \alpha}
}\)

\(\displaystyle{
x \cdot \sin \alpha = 2x \cdot \sin(\alpha - 30 ^{o})
}\)
\(\displaystyle{
\sin \alpha =2 \sin(\alpha - 30 ^{o})
}\)
\(\displaystyle{
\sin \alpha =2 (\sin\alpha\cos 30^{o} - \sin 30^{o}\cos\alpha)
}\)
\(\displaystyle{
\sin \alpha =2 (\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha)
}\)
\(\displaystyle{
\sin \alpha = \sqrt3\sin\alpha - \cos\alpha
}\)
\(\displaystyle{
\cos\alpha =\sin\alpha(\sqrt3 - 1)
}\)
\(\displaystyle{
\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt3 - 1
}\)
\(\displaystyle{
\ctg\alpha = \sqrt3 - 1
}\)
\(\displaystyle{
\tg\alpha = \frac{\sqrt3 + 1}{2}
}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{4 + \sqrt3}{13} }\). Mógłby ktoś mi wskazać, gdzie robię błąd?

[Premislav]

Obliczyłeś \(\displaystyle{ \tg \alpha}\), a powinieneś obliczać \(\displaystyle{ \tg\left(\alpha-30^{\circ}\right)}\), bo to tangens tego mniejszego kąta jest szukany.

[qwerty355]

A no tak... Czy mając teraz \(\displaystyle{ \tg\alpha }\) mogę w jakiś łatwy sposób obliczyć tangens tego mniejszego kąta? Bo jak teraz na to patrzę, to chyba wygodniej byłoby zmienić oznaczenia tak, aby szukany kąt był równy \(\displaystyle{ \alpha }\), a ten drugi \(\displaystyle{ \alpha + 30 ^{o}}\) i policzyć od nowa.

[Premislav]

Zgadza się, wygodniej byłoby zmienić oznaczenia i szukany kąt przyjąć jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Możesz jednak wyliczyć potrzebny tangens dzięki wzorkowi:
\(\displaystyle{ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}}\)
kładąc w nim \(\displaystyle{ \beta=30^{\circ}}\).

[qwerty355]

Dzięki za pomoc