Okrąg wpisany w trójkąt

[supertrooper]

Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), odcinek \(\displaystyle{ DM}\) jest średnicą tego okręgu. Prosta \(\displaystyle{ BM}\) przecina bok \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ AK = DC.}\)

[matmatmm]

Udało mi się rozwiązać to zadanie. Co prawda przez makabryczne obliczenia, ale się podzielę.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\) środek okręgu, a przez \(\displaystyle{ E}\) punkt styczności okręgu z bokiem \(\displaystyle{ BC}\).
Przez rachunek na kątach dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ EM\parallel CO}\). \(\displaystyle{ EM}\) przecina \(\displaystyle{ AC}\) w pewnym punkcie. Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ H}\).
Ze wspomnianej równoległości oraz z \(\displaystyle{ DO=MO}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ CH=CD}\). Zauważmy, że

\(\displaystyle{ CD=CE=\frac{r}{\tg\frac{1}{2}\gamma}}\)
\(\displaystyle{ BE=\frac{r}{\tg\frac{1}{2}\beta}}\)
\(\displaystyle{ AD=\frac{r}{\tg\frac{1}{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ HM=\frac{2r}{\sin\frac{1}{2}\gamma}}\)
\(\displaystyle{ EM=2r\sin\frac{1}{2}\gamma}\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) punkt przecięcia \(\displaystyle{ BM}\) oraz \(\displaystyle{ CO}\). Z twierdzenia Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{CP}{EM}=\frac{BC}{BE}}\)
\(\displaystyle{ CP=\frac{BC\cdot EM}{BE}=\frac{(BE+EC)EM}{BE}=\left(1+\frac{CD}{BE}\right)EM}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{HK}{CK}=\frac{HM}{CP}}\)
\(\displaystyle{ \frac{CH+CK}{CK}=\frac{HM}{CP}}\)
\(\displaystyle{ \frac{CD}{CK}+1=\frac{HM}{CP}}\)

\(\displaystyle{ CK=\frac{CD}{\frac{HM}{CP}-1}=\frac{CD}{\frac{HM}{\left(1+\frac{CD}{BE}\right)EM}-1}}\)

Wszystkie wielkości w tym wzorze są znane tzn. wyrażają się za pomocą \(\displaystyle{ r,\beta,\gamma}\). Po podstawieniu i uproszczeniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ CK=r\frac{\tg\frac{1}{2}\beta+\tg\frac{1}{2}\gamma}{1-\tg\frac{1}{2}\beta\cdot\tg\frac{1}{2}\gamma}=r\cdot\tg\left(\frac{1}{2}\beta+\frac{1}{2}\gamma\right)=\frac{r}{\ctg\left(\frac{1}{2}\beta+\frac{1}{2}\gamma\right)}=\frac{r}{\tg\left(90-\frac{1}{2}\beta-\frac{1}{2}\gamma\right)}=\frac{r}{\tg\frac{1}{2}\alpha}=AD}\)

[kruszewski]

Dobrze byłoby pokazać ten rachunek na kątach.

[matmatmm]

Oke.

\(\displaystyle{ \angle CDE=\frac{180-\gamma}{2}=90-\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \angle EDO=\angle CDO-\angle CDE=90-\left( 90-\frac{\gamma}{2}\right) =\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \angle EOM=2\cdot\frac{\gamma}{2}=\gamma}\)
\(\displaystyle{ \angle MEO=\frac{180-\gamma}{2}=90-\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \angle BEM=\angle BEO-\angle MEO=90-\left( 90-\frac{\gamma}{2}\right) =\frac{\gamma}{2}}\)

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \angle ECO=\frac{\gamma}{2}}\)

[Bydlok]

Dobra, Nie wiem czy na tej stronie odpowiada się na stare posty, jednakże przedstawie rozwiązanie, które jest niezbyt skomplikowane. Wydaje mi się, że sformułowanie zadania sprawia, że ciężko wpaść na jakiś pomysł, przynajmniej tak było w moim przypadku.
Zauważmy, że K jest punktem styczności \(\textbf{okręgu dopisanego}\) do trójkąta \(ABC\) (jednokładność o środku \(B\) przekształcająca okrąg wpisany na dopisany do przy \(AB\) przenosi \(M\) na \(K\)).
Teraz zadanie jest dużo łatwiejsze i sprowadza się do rachunku na odcinkach stycznych do tych okręgów.
Oznaczam zatem punkt styczności okr. wpisanego z \(AB\) przez \(A_w\) a z okr. dopisanym \(A_d\) i analogicznie dla prostej \(BC\) oznaczam punkty \(C_w\) i \(C_d\). Mamy:
\(\displaystyle{ |KD| = |AD| - |AK| = |AA_w| - |AK| = (|BA_d| - |BA_w| - |AA_d|) - |AK| = |BC_d| - |BC_w| - 2|AK| }\)
\(\displaystyle{ |KD| = |CK| - |CD| = |CC_d| - |CD| = (|BC_d| - |BC_w| - |CC_w|) - |CD| = |BC_d| - |BC_w| - 2|CD| }\)
Stąd \(|AK|\) = \(|CD|\).
\(CKD\)

P.S. Pamiętam jak frustrowałem się nad tym nieludzko i dopiero dużo później jak już zapomniałem o tym zadaniu to zobaczyłem przypadkiem konstrukcję w jakimś pdfie "Geometry in Figures" A.Akopyana (którego to dokumentu niezbyt polecam chyba, że jesteście jakoś szczególnie skrzywieni mentalnie i fascynują was obrazki dotyczące geometrii klasycznej albo macie inne powody ) ehhhh.....pozdro