Trójkąt prostokątny

[zwierzaczysko_]

W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) dzielą przeciwprostokątną \(\displaystyle{ BC}\) na odcinki \(\displaystyle{ CD, DE, EB}\), które są równej długości. Które zdanie jest prawdziwe i dlaczego?
A) \(\displaystyle{ |∡CAD|=30°}\)
B) Promień okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ AEC}\) jest równy \(\displaystyle{ |AD|}\).
C) Promień okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) jest równy \(\displaystyle{ |DE|}\).
D) Pola trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ AED}\) są równe.

[Premislav]

Skoro prawdziwe ma być tylko jedno zdanie (a może to nadinterpretacja?), to można sobie zaoszczędzić dużo czasu. Zdanie D) jest prawdziwe, ponieważ (w stopniach) \(\displaystyle{ \sin(180-\alpha)=\sin \alpha}\), a trójkąty \(\displaystyle{ AED, \ ABE}\) mają wspólny bok \(\displaystyle{ AE}\) (co za tym idzie, bok tej samej długości), inny bok tej samej długości (\(\displaystyle{ |DE|=|EB|}\)) i równe sinusy kątów między tymi bokami tej samej długości.
Zatem ich pola są równe ze wzoru \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab\sin \alpha}\) (połowa iloczynu długości boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami).