nierówność w trójkącie

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem z wysokością \(\displaystyle{ h_a}\) poprowadzoną z A. Pokaż że \(\displaystyle{ (b+c)^2\ge a^2+4h_a^2.}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ (b+c)^2\ge a^2+4h_a^2\\
b^2+c^2-a^2+2bc \ge 4h_a^2}\)
Twierdzenie kosinusów upraszcza równanie do
\(\displaystyle{ 2bc \cos A+2bc \ge 4 h_a \cdot h_a}\)
Niech \(\displaystyle{ \angle A=\angle A'+\angle A' }\) (tak jest gdy kąty B i C są ostre)
\(\displaystyle{ 2bc \cos (A'+A'')+2bc \ge 4 b\cos A' \cdot c\cos A''\\
\cos A' \cos A''-\sin A' \sin A''+1 \ge 2 \cos A' \cos A''\\
1\ge \cos (A'- A'')}\)

Wersję z rozwartym kątem B lub C napisz sama.