Dany jest trójkąt rownoboczny \(\displaystyle{ ABC}\) o długości boku równej \(\displaystyle{ a}\). Na boku \(\displaystyle{ AC}\) obrano dowolnie punkt \(\displaystyle{ D}\), zaś kąt \(\displaystyle{ \angle DBC}\) ma miarę równą \(\displaystyle{ \alpha}\). Przez punkt \(\displaystyle{ O}\) będącym środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ DBC}\) poprowadzono prostą równoległą do boku \(\displaystyle{ BC}\), która przecina odcinek \(\displaystyle{ DB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ OE}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha}\). Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) odcinek \(\displaystyle{ OE}\) będzie miał najkrótszą długość?
Rozrysowałem sobie tą sytuację, ale nie wiem jak dalej się za to zabrać.
Długość odcinka w trójkącie
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Długość odcinka w trójkącie
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta. Jeśli ten trójkąt jest równoboczny, to dwusieczne kątów są jednocześnie jego wysokościami, symetralnymi boków i środkowymi. A jeśli tak, to punkt przecięcia dzieli je w stosunku 2:1. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego jest znany, ale przypomnę:
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2} }\)
Rozpatrz trapez prostokątny \(\displaystyle{ OEBF}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\).
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2} }\)
Rozpatrz trapez prostokątny \(\displaystyle{ OEBF}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\).
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Długość odcinka w trójkącie
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) Trójkąta \(\displaystyle{ BCO}\) ma bok \(\displaystyle{ BC=a}\) a kąty do niego przyległe mają \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ 30^\circ}\). Jego wysokością jest promień okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \Delta\ DBC}\) i można policzyć jego długość: \(\displaystyle{ r\sqrt{3}+r\ctg\frac{\alpha}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) W trapezie \(\displaystyle{ BCOE}\) znamy miary kątów ostrych: \(\displaystyle{ 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\), długość dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a}\) i wysokość \(\displaystyle{ r}\). Pozostaje Ci wyznaczenie długości krótszej podstawy i optymalizacja... (chyba wprowadziłbym zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x=\ctg\frac{\alpha}{2}\wedge x>\sqrt{3}}\) )
Pozdrawiam
[edited]
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) Trójkąta \(\displaystyle{ BCO}\) ma bok \(\displaystyle{ BC=a}\) a kąty do niego przyległe mają \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ 30^\circ}\). Jego wysokością jest promień okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \Delta\ DBC}\) i można policzyć jego długość: \(\displaystyle{ r\sqrt{3}+r\ctg\frac{\alpha}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) W trapezie \(\displaystyle{ BCOE}\) znamy miary kątów ostrych: \(\displaystyle{ 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\), długość dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a}\) i wysokość \(\displaystyle{ r}\). Pozostaje Ci wyznaczenie długości krótszej podstawy i optymalizacja... (chyba wprowadziłbym zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x=\ctg\frac{\alpha}{2}\wedge x>\sqrt{3}}\) )
Pozdrawiam
[edited]
Na moim rysunku tak nie jest!