Trójkąt - nierówność [Duo]

[Elayne]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\) i wysokościach długości \(\displaystyle{ h_a, h_b, h_c.}\) Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{h_a}{b+c} + \frac{h_b}{c+a} + \frac{h_c}{a+b} \le \frac{3\sqrt{3}}{4}}\)

[bosa_Nike]

Wyrażamy wysokości przez pole trójkąta (`S`): `h_a=\frac{2S}{a}` itd., a następnie korzystamy z HM-AM.
$$\sum\frac{h_a}{b+c}=S\sum\frac{2}{ab+ac}\le\frac{S}{2}\sum\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\right)=S\cdot\frac{a+b+c}{abc}$$
Tzn. chcemy teraz udowodnić $$\sqrt{3}S\le\frac{9}{4}\cdot\frac{abc}{a+b+c}=\frac{9}{2}Rr\quad(1)$$
Oczywiście `R,r` to promienie odpowiednio okręgu opisanego i wpisanego.
Z nierówności Gerretsena i Eulera wynika jednakże coś mocniejszego: $$\sqrt{3}S\le r(4R+r)$$

Jeśli komuś się nie chce powypełniać luk w powyższym, to nierówność `(1)` jest również stosunkowo prosta do spałowania przy pomocy podstawienia Raviego i `pqr`. Podstawiając `a=x+y,\ b=y+z,\ c=z+x`, a później `p=x+y+z,\ q=xy+yz+zx,\ r=xyz` otrzymujemy ze wzoru Herona
$$\sqrt{xyz(x+y+z)}\le\frac{3\sqrt{3}}{4}\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$$ lub $$3\sqrt{3}(pq-r)\ge 8p\sqrt{pr}$$
To po podniesieniu do kwadratu daje $$27r^2-2p\left(32p^2+27q\right)r+27p^2q^2\ge 0$$ Po lewej jest malejąca funkcja zmiennej `r`, bo minimum przy ustalonych `p,q` taka krzywa ma w punkcie o odciętej `\frac{32}{27}p^3+pq\ge 32r+9r\ge r`, więc wystarczy sprawdzić nierówność dla `p=3,\ q=x^2+2x(3-2x),\ r=x^2(3-2x)`.

[timon92]

z \(\displaystyle{ b=\frac{h_a}{\sin \gamma}}\) i analogicznych równości, AM-HM oraz Jensena dla sinusa otrzymujemy

$$\frac{h_a}{b+c}+\frac{h_b}{c+a}+\frac{h_c}{a+b} = \frac{1}{\frac{1}{\sin \gamma} + \frac{1}{\sin \beta}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin \gamma}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin \beta} + \frac{1}{\sin \alpha}} \le \frac{\sin \gamma + \sin \beta}{4} + \frac{\sin \alpha + \sin \gamma}{4} + \frac{\sin \beta + \sin \alpha}{4} =\\= \frac 32 \cdot \frac{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma}{3} \le \frac 32 \sin \left( \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}\right) = \frac 32 \cdot \sin \frac \pi 3 = \frac {3\sqrt 3}4$$