dwa boki i kąt między nimi

[Niepokonana]

No bo mamy bok \(\displaystyle{ |AB|=10}\) i \(\displaystyle{ |AC|=12}\) i kąt \(\displaystyle{ A=120}\) stopni.
No bo jak mam obliczyć pole? Jak kąt jest prosty bądź ostry to umiem, ale tu mam rozwarty... Słyszałam, że sinus kąta \(\displaystyle{ 120}\) jest taki sam jak \(\displaystyle{ 60}\), ale ja nie miałam sinusów kątów rozwartych.

[janusz47]

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} |AB||AC| \sin \alpha.}\)

\(\displaystyle{ \sin 120^{o} = \sin (180^{o} - 60^{o}) = \sin 60^{o}.}\)

[Niepokonana]

No dobrze ja to wiem, ale skąd mam wziąć ten sinus?

[janusz47]

Musisz poznać wzory redukcyjne.

[Niepokonana]

Znam 4 co nie. Jedynkę trygonometryczną, \(\displaystyle{ \tg= \frac{\sin}{\cos} ,\ctg= \frac{\cos}{\sin}}\) i \(\displaystyle{ \tg\cdot\ctg=1}\)
Czy to wystarczy? Bo ja nie wierzę, że pani nam zadała zadanie z czegoś, czego nie było.
EDIT: czy \sin kąta rozwartego \(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ \sin}\) kąta \(\displaystyle{ \beta =180- \alpha }\)

[Jan Kraszewski]

Znam 4 co nie. Jedynkę trygonometryczną, \(\displaystyle{ \tg= \frac{\sin}{\cos} ,\ctg= \frac{\cos}{\sin}}\) i \(\displaystyle{ \tg\cdot\ctg=1}\)

To NIE SĄ wzory redukcyjne. Wzory redukcyjne pozwalają uprościć wyrażenia typu \(\displaystyle{ \sin(\alpha\pm x), \cos(\alpha\pm x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha\in\{0^\circ,90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\},}\) czyli w szczególności liczyć wartości tych funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych.

JK

[a4karo]

A \(\sin 60^\circ\) oblicz sobie rysując połowę trójkąta równobocznego.

[Niepokonana]

A poda Pan jakiś wzór redukcyjny?
Nie, a4karo, dzięki za troskę, ale ja znam sinus takiego kąta, bo już miałam to narysowane

[janusz47]

To nie są wzory redukcyjne, lecz podstawowe tożsamości trygonometryczne.

Aby znaleźć wartość sinusa kąta rozwartego rysujemy wykres funkcji sinus w zakresie \(\displaystyle{ 0^{o} - 180^{o} }\). Znajdujemy wartości tej funkcji ("wysokość słupka") dla kąta \(\displaystyle{ 120^{o} }\). Dokonujemy przesunięcia wzdłuż wykresu w lewo w kierunku kątów ostrych \(\displaystyle{ 0^{o} - 90^{o}.}\) Zauważamy, że takiej samej długości i tak samo skierowany "słupek" odpowiada wartości kąta \(\displaystyle{ 60^{o}.}\)

Zapamiętajmy
\(\displaystyle{ \sin(180^{o} -\alpha) = \sin(\alpha).}\)

[Niepokonana]

Ok dzięki o taki wzór mi chodziło
Teraz już sobie poradzę.

[janusz47]

W podręczniku szkolnym Śp. Henryka Pawłowskiego Matematyka 1 - zakres rozszerzony, w rozdziale zatytułowanym
" Wykresy funkcji trygonometrycznych" znajdujemy z dowodem następujące twierdzenie

Jeśli dla każdej liczby \(\displaystyle{ x }\) ze zbioru \(\displaystyle{ A }\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ f(a-x) = f(x) }\), to wykres funkcji jest symetryczny względem prostej równoległej do osi \(\displaystyle{ OY }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2}, 0 \right), }\) czyli prostej o równaniu \(\displaystyle{ x = \frac{a}{2}. }\)

Z twierdzenia tego wynika, że fragment wykresu funkcji sinus w zakresie kątów \(\displaystyle{ 0^{o} - 180^{o} }\) jest symetryczny względem prostej \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}. }\)

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \sin (\pi - x) = \sin(x), \ \ \sin(180^{o} -x) = \sin(x). }\)

W szczególności, gdy \(\displaystyle{ a = 0, }\) funkcja \(\displaystyle{ f }\) spełnia w zbiorze \(\displaystyle{ A }\) warunek \(\displaystyle{ f(-x) = f(x) }\) jest funkcją parzystą w tym zbiorze i jej wykres jest symetryczny wzlędem prostej \(\displaystyle{ x = 0 }\) - osi \(\displaystyle{ OY. }\)

Jeśli uwzględnimy fragment wykresu funkcji kosinusów w zakresie kątów \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \ \ ( -90^{o}, 90^{o}), }\) to stwierdzimy, że jest on symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY }\) i \(\displaystyle{ \cos( 45^{o}) = \cos( -45^{o}), \ \ \cos(-30^{o} )= \cos(30^{o}) }\) - funkcja kosinusów jest funkcją parzystą.