zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Niepokonana »

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) mają długości \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 6}\). Trojkąt \(\displaystyle{ A'B'C'}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wyznacz obwód \(\displaystyle{ A'B'C'}\), jeżeli:
a)promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy \(\displaystyle{ 7,5}\).
b)promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{3- \sqrt{5} }{2}}\).
No bo ja nie umiem w ogóle tej geometrii z trójkątami, wiem, że podobieństwo ma stosunek \(\displaystyle{ k}\), że punkt przecięcia środkowych jest środkiem koła opisanego, a dwusiecznych kątów wpisanego, ale nie wiem, co dalej...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Premislav »

a) promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to połowa jego przeciwprostokątnej. Niech \(\displaystyle{ x}\) – skala podobieństwa. Boki trójkąta \(\displaystyle{ A'B'C'}\) mają długości \(\displaystyle{ 3x, \ 6x, \ 3\sqrt{5} x}\) (długość przeciwprostokątnej policzyłem w pamięci z Pitagorasa), czyli
\(\displaystyle{ 7,5=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}x}\), stąd obliczasz \(\displaystyle{ x}\), a potem to już formalność.
b) sprawę powinien załatwić wzór na promień okręgu wpisanego w tójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ a,b}\) i przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ c}\):
\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Niepokonana »

a)Nie licz w pamięci, bo ja nie rozumiem.
b)dokończ
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: janusz47 »

(a)
Przeciwprostokątna trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) ma długość \(\displaystyle{ c =... }\)

Długość przeciwprostokątnej trójkąta \(\displaystyle{ A'B'C', \ \ c' = 2R = ...}\)

Skala podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABC, A'B'C', \ \ k =... }\)

Długości przyprostokątnych trójkąta \(\displaystyle{ A'B'C' }\) wynoszą odpowiednio ...
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3018
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 322 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: florek177 »

Pitagorasa nie rozumiesz ?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Niepokonana »

Aaaaa, że ja mam najpierw policzyć przyprostokątną w domyślnym trójkącie, z tego skalę podobieńtstwa, a potem, że \(\displaystyle{ A'=A*k}\) i \(\displaystyle{ B'=B*k}\)...
A dobra wyszło mi dziękuję, teraz jeszcze podpunkt b.
Nie no rozumiem Pitagorasa, w sensie jego wzór a nie osobę, ale skąd ja mam wiedzieć, gdzie ten wzór zastosować?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: janusz47 »

(b)

\(\displaystyle{ K = \frac{C}{c}, }\)

\(\displaystyle{ c }\) wyznaczamy z porównania wartości na długości promieni wpisanych w trójkąt \(\displaystyle{ ABC. }\)

Wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC, \ \ r = ...}\) napisał Pan Premislav.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2019, o 18:08 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Niepokonana »

Duże \(\displaystyle{ R=15}\), małe \(\displaystyle{ r= \frac{9-3 \sqrt{5} }{2}}\), no i jak ja to dzielę, to mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{22,5 \sqrt{3}+67,5 }{36} }\). Co robię źle?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{ a' + b' - c' }{2} = r' }\)

\(\displaystyle{ c' = \sqrt{5}. }\)

\(\displaystyle{ k' = \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}= \frac{1}{3}. }\)

\(\displaystyle{ a' = 3\cdot \frac{1}{3} = 1, \ \ b' = 6\cdot \frac{1}{3} = 2.}\)

\(\displaystyle{ Obw_{A'B'C'} = a'+b'+c' = 1 + 2 + \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5}.}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: zadanie na trójkąt z kołami dwa podpunkty

Post autor: Niepokonana »

Dziękuję bardzo. :)
ODPOWIEDZ