suma miarę wewnątrz wielokatu

[Niepokonana]

Mamy trójkąty i potrzebuję wzoru na sumę kątów wewnętrznych. Nie wiem, jak go wyprowadzić, proszę mi to zrozumiale wyprowadzić .

[Premislav]

Co to znaczy „mamy trójkąty"? Jeśli chodzi Ci o wzór na sumę kątów wewnętrznych w \(\displaystyle{ n}\)-kącie wypukłym, to jest to w radianach \(\displaystyle{ \pi(n-2)}\) bądź w stopniach \(\displaystyle{ 180(n-2) ^{\circ}}\). Najprostszy dowód, jaki przychodzi mi do głowy, korzysta z indukcji matematycznej, ale nie jestem pewny, czy pojawia się ona w programie liceum (ja ją miałem, ale to było 10 lat temu prawie, a program się zmieniał).
W kroku indukcyjnym ustalamy dowolny \(\displaystyle{ n}\)-kąt wypukły, \(\displaystyle{ n\ge 4}\), wybieramy jakiś wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) naszego \(\displaystyle{ n}\)-kąta i dwa sąsiadujące z nim, powiedzmy \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\), odcinamy trójkąt, zgodnie z założeniem indukcyjnym w \(\displaystyle{ n-1}\)-kącie odciętym jest suma miar kątów wewnętrznych równa \(\displaystyle{ (n-3)\pi}\), a suma miar kątów wewnętrznych w \(\displaystyle{ n}\)-kącie jest większa o \(\displaystyle{ |\angle A_1AA_2|+|\angle A_1A_2 A|+|\angle A A_1 A_2|=\pi}\) (suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie), stąd wynosi \(\displaystyle{ (n-3)\pi+\pi=(n-2)\pi}\).

[Niepokonana]

No bo teraz w szkole mamy geometria trójkątów i czasem do zadań jest potrzebny wzór na sumę kątów wewnętrznych. Znam go, ale nie skąd się wziął.edit: nie nie ma indukcji.

[kruszewski]

Wikipedia pod hasłem : Suma kątów wewnętrznych w trójkącie.

[Dilectus]

1. Narysuj dowolny trójkąt.
2. poprowadź przez jego wierzchołek prostą równoległą do podstawy i przyjrzyj się kątom naprzemianległym i odpowiadającym, jakie tworzą boki trójkąta z tą prostą. Popatrz na kąty trójkąta przy podstawie i wyciągnij wnioski. Te wnioski będą dowodem na sumę kątów wewnętrznych w trójkącie.



P.S. Trój·kąt -ąta, -ącie; -ąty, -ątów, tak, jak kąt kąta, kącie; kąty, kątów.

[kruszewski]

Ukryta treść:    

[Niepokonana]

Nie no wiem, jak się pisze, tylko z telefonu pisałam na szybko, ale dzięki za poprawę
Dobra, spróbuję narysować i powiem, czy mi wyszło, dziękuję.
EDIT: ale ten dowód zadziała na wszystkie n-kąty \(\displaystyle{ n>2}\)?
EDIT: ja nie wiem w sumie, czy to jest dobry dział na ten wątek, bo niby mi to jest potrzebne do zadań z trójkątami, ale to ma być wzór do wszystkich wielokątów.

[Gosda]

Proszę przymrużyć oko

Z twierdzenia Gaussa-Bonneta, jeśli \(\displaystyle{ T}\) jest trójkątem o bokach \(\displaystyle{ \gamma_i}\), wierzchołkach \(\displaystyle{ v_i}\), mamy

\(\displaystyle{ \int_T K+\sum_i\int_{\gamma_i}\kappa + \sum_i\alpha_i=2\pi\chi(T)}\),

gdzie \(\displaystyle{ K}\) to krzywizna Gaussa, \(\displaystyle{ \kappa}\) to krzywizna geodezyjna wzdłuż boków, \(\displaystyle{ \alpha_i}\) to zewnętrzny kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ v_i}\) mierzony w radianach, zaś \(\displaystyle{ \chi(T)}\) jest oczywiście charakterystyką Eulera. Płaszczyzna jest płaska, więc \(\displaystyle{ K \equiv 0}\), boki trójkąta są liniami geodezyjnymi, więc \(\displaystyle{ \kappa \equiv 0}\), wreszcie \(\displaystyle{ T}\) jest ściągalny, czyli \(\displaystyle{ \chi(T) = 1}\). To upraszcza wzór do

\(\displaystyle{ \sum_i \alpha_i = 2\pi}\),

skąd wynika już bezpośrednio teza

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/269833/whats-a-proof-that-the-angles-of-a-triangle-add-up-to-180

[kruszewski]

Ale prostszy dowód można zobaczyć tu :

Kod: Zaznacz cały

http://strefamatematyczna.uwm.edu.pl/wamat/licea/definicje/def_13_01_004_pg.pdf

Przypomiał mi się stary dowcip o czyszczeniu lufy, że można logarytmem ale wyciorem jest skuteczniej.

[Niepokonana]

A dziękuję Kruszewski, rozumiem.