Trójkąt równoramienny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Zadanie z działu cechy podobieństwa trójkąta.

78. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AC = BC.}\) Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), a punkt \(\displaystyle{ E}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ D}\) na prostą \(\displaystyle{ BC}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ DE}\). Dowieść, że proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ CM}\) są prostopadłe.
Ostatnio zmieniony 11 sie 2019, o 14:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 20 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: Kfadrat »

Pozwolę to sobie analitycznie przepałować
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Pomógłby ktoś jeszcze , nie analitycznie?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: a4karo »

To ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ \vec{AE}\circ\vec{CM}=(\vec{AD}+\vec{DE})\circ (\vec{CD}+.5\vec{DE})\\
=\vec{AD}\circ\vec{CD}+.5\vec{AD}\circ\vec{DE}+\vec{CD}\circ\vec{DE}+.5\vec{DE}\circ\vec{DE}\\
=\vec{AD}\circ\vec{CD}+.5\vec{AD}\circ\vec{DE}+.5\vec{CD}\circ\vec{DE}+.5\vec{CD}\circ\vec{DE}+.5\vec{DE}\circ\vec{DE}\\
=\vec{AD}\circ\vec{CD}+.5(\vec{AD}+\vec{CD})\circ\vec{DE}+.5\vec{CE}\circ\vec{DE}=0}\)

bo
a: wektory \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CD}}\) są prostopadłe
b: \(\displaystyle{ \vec{AD}+\vec{CD}=\vec{CB}}\) a ten jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{DE}}\)
c: \(\displaystyle{ \vec{CE}}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{DE}}\)
Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Dzięki za rozwiązanie na wektorach, gdyby ktoś miał elementarniej to z chęcią przeczytam.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: kruszewski »

Może tak?
Ukryta treść:    
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Do postu wyżej

Post autor: kruszewski »

KOREKTA

Poprawa rysunku z postu wyżej.
Dodano punkt H prostą \(\displaystyle{ CH}\) usunięto prostą \(\displaystyle{ CD}\)

Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Dobrze myślę ,że \(\displaystyle{ AEBF}\) to równoległobok? Co wyznacza punkt \(\displaystyle{ H}\) ? \(\displaystyle{ HD || GM}\)?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: kruszewski »

\(\displaystyle{ H}\) pokazuje punkt połowiący \(\displaystyle{ AE}\) tak dla zauważenia, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta CHN}\) jest też równoramienny i o kącie w \(\displaystyle{ C}\) równym \(\displaystyle{ 2 \beta}\) . A środkowa kąta w \(\displaystyle{ C}\) z racji tej równoramienności jest prostopadła do podstawy \(\displaystyle{ \Delta CHE}\), a ta przynależy do prostej \(\displaystyle{ AE}\) , zatem proste \(\displaystyle{ CG \ i \ AE}\) są wzajemnie prostopadłe, o czego fakt jest pytanie w zadaniu.
Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Niema na rysunku punktu \(\displaystyle{ N}\) więc domyślam się ,że chodziło panu o punkt \(\displaystyle{ E}\). Dalej nie rozumiem jak dość do równoramieności \(\displaystyle{ \triangle CHE}\) . I nie rozumiem troszeczkę rysunku bo według definicji punktu \(\displaystyle{ H}\) prosta \(\displaystyle{ HD}\) powinna być równoległa do \(\displaystyle{ BC}\) a przez to równości kątów na obrazku wydają się błędne. Mógłby pan mi rozjaśnić to jeszcze bardziej?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: kruszewski »

"chodziło panu o punkt E", tak o ten punkt, przepraszam. Nie będę już poprawiał.

To podwójne użycie twierdzenia Talesa, trzy równoległe z których wewnętrzna jest symetralną dla skrajnych dzieli ramiona kąta ostrego, którego wierzchołek przynależy do jednej ze skrajnych.
Z proporcji wynikają owe połówki bo nie zapominajmy, że \(\displaystyle{ M}\) połowi \(\displaystyle{ ED}\)-- 13 sie 2019, o 09:58 --Wzajemność prostopadłości ramion kątów daje też odpowiedź na zadane pytanie,nieprawdaż?
Awatar użytkownika
koniak20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 maja 2017, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: koniak20 »

Przecież \(\displaystyle{ HD}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ BC}\) więc nie może być równoległe też do \(\displaystyle{ CG}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: kruszewski »

Patrząc z innej strony: jeżeli z punktu \(\displaystyle{ D}\) połowiącego \(\displaystyle{ AB}\) wystawić prostopadłą do \(\displaystyle{ AE}\) i równoległą do niej wystawioną z punktu \(\displaystyle{ M}\) połowiącego \(\displaystyle{ DE}\) to przetnie ona \(\displaystyle{ AE}\) w punkcie \(\displaystyle{ G}\) połowiącym \(\displaystyle{ HE}\)



Stąd wynikają te wnioski i zależności.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: timon92 »

proponuję inne podejście: niech \(\displaystyle{ N}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AD}\)

spróbuj udowodnić, że trójkąty \(\displaystyle{ ADC}\), \(\displaystyle{ DEC}\), \(\displaystyle{ NMC}\) są podobne
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Trójkąt równoramienny

Post autor: kruszewski »

Może tak?
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ