Matematyka.pl

1.W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt C jest prosty i kąt BAC =30°, poprowadzono dwusieczną kąta B, przecinającą bok AC w punkcie D. Wykaż, że \(\displaystyle{ BC^2+AC^2=2*AC*BD}\)

2.W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka B, Wykaż, że \(\displaystyle{ BC^2= AB^2+AC^2-2AC*AD}\)

3.Wykaż, że jeśli D jest dowolnym punktem podstawy AB trójkąta równoramiennego ABC, to
\(\displaystyle{ CD^2= AC^2-AD* DB}\)

ZA wszelkie RozWiąZaniA wiElkiE ThX.

3. Jeśli H jest środkiem podstawy AB, a zarazem spodkiem wysokości trójkąta ABC, to po skorzystaniu kilka razy z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ CD^2=HD^2+HC^2=\left|\frac{AD-DB}2\right|^2+HC^2=\\
=\frac{AD^2}4-\frac{AD\cdot DB}2+\frac{DB^2}4+HC^2=\\
=\frac{AD^2}4+\frac{AD\cdot DB}2+\frac{DB^2}4+HC^2-AD\cdot DB=\\
=\left(\frac{AD+DB}2\right)^2+HC^2-AD\cdot DB=\left(\frac{AB}2\right)^2+HC^2-AD\cdot DB=\\
=AH^2+HC^2-AD\cdot DB=AC^2-AD\cdot DB}\)

[ Dodano: 12 Października 2007, 10:57 ]
2. Z twierdzenia Pitagorasa (zastosowanego kilka razy) mamy:
\(\displaystyle{ BC^2=CD^2+BD^2=CD^2+AB^2-AD^2=\\
=AB^2+CD^2-AD^2=AB^2+(AC-AD)^2-AD^2=\\
=AB^2+AC^2-2\cdot AC\cdot AD+AD^2-AD^2=AB^2+AC^2-2\cdot AC\cdot AD}\)