Witam , szukałem pomocy w zadaniu
57. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) .
Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu C odpowiednio na
proste \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\) . Znając długości boków trójąta \(\displaystyle{ ABC}\) obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ PQ}\)
Jedyne co znalazłem na forum to ten temat.
358289.htm#p5439784
Aczkolwiek tamta wskazówka jest nie wystarczająca dla mnie.
Tw. Talesa - Pompe 57
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Tw. Talesa - Pompe 57
rozwijam wskazówkę:
jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) punkty przecięcia prostych \(\displaystyle{ CP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) z prostą \(\displaystyle{ AB}\), to wtedy trójkąty \(\displaystyle{ ACX}\) i \(\displaystyle{ BCY}\) są równoramienne (dlaczego?)
w takim razie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami odcinków \(\displaystyle{ CX}\) i \(\displaystyle{ CY}\)
wynika stąd, że \(\displaystyle{ PQ = \frac 12 XY = \ldots}\)
jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) punkty przecięcia prostych \(\displaystyle{ CP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) z prostą \(\displaystyle{ AB}\), to wtedy trójkąty \(\displaystyle{ ACX}\) i \(\displaystyle{ BCY}\) są równoramienne (dlaczego?)
w takim razie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami odcinków \(\displaystyle{ CX}\) i \(\displaystyle{ CY}\)
wynika stąd, że \(\displaystyle{ PQ = \frac 12 XY = \ldots}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Tw. Talesa - Pompe 57
Punkty \(\displaystyle{ X, Y}\) jak u timon92.
Jeśli dodatkowo przedłużymy punkt \(\displaystyle{ Q}\) na bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\),
otrzymując punkt \(\displaystyle{ Z}\) i analogicznie punkt \(\displaystyle{ P}\) na bok \(\displaystyle{ AC,}\) otrzymując punkt \(\displaystyle{ U.}\) Mamy wtedy pary trójkątów podobnych \(\displaystyle{ \Delta CUP \sim \Delta CAX , \ \ \Delta CXY \sim \Delta CPQ, \ \ \Delta CQZ \sim \Delta BCY.}\)
Uwzględniając cechę podobieństwa \(\displaystyle{ kkk}\) do tych trójkątów oraz twierdzenie o dwusiecznych kąta w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) - znajdujemy długość odcinka \(\displaystyle{ PQ.}\)
Jeśli dodatkowo przedłużymy punkt \(\displaystyle{ Q}\) na bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\),
otrzymując punkt \(\displaystyle{ Z}\) i analogicznie punkt \(\displaystyle{ P}\) na bok \(\displaystyle{ AC,}\) otrzymując punkt \(\displaystyle{ U.}\) Mamy wtedy pary trójkątów podobnych \(\displaystyle{ \Delta CUP \sim \Delta CAX , \ \ \Delta CXY \sim \Delta CPQ, \ \ \Delta CQZ \sim \Delta BCY.}\)
Uwzględniając cechę podobieństwa \(\displaystyle{ kkk}\) do tych trójkątów oraz twierdzenie o dwusiecznych kąta w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) - znajdujemy długość odcinka \(\displaystyle{ PQ.}\)