Koła i trójkąt

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że dowolny trójkąt o najdłuższym boku \(\displaystyle{ c=1}\) można przykryć dwoma kołami o średnicy \(\displaystyle{ 1}\).

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ c=\left| AB\right|}\)
Obszar w którym może leżeć trzeci wierzchołek trójkąta (C) jest ograniczony odcinkiem AB i niebieskimi łukami.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[red!50!blue] (-2,0)--(2,0);
\draw[blue, densely dashed](-2,0)--(0,3.464)--(2,0);
\draw[blue] (2,0)arc (0:60:4);
\draw[blue] (-2,0)arc (180:120:4);
\draw(-2,0) node[below] {$A$};
\draw(2,0) node[below] {$B$};
\end{tikzpicture}}\)
Można go pokryć dwoma kołami choćby tak:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=1]
\fill[red!20!white](-1,1.732)circle(2);
\fill[red!20!white](1,1.732)circle(2);
\draw[red](-1,1.732)circle(2);
\draw[red](1,1.732)circle(2);
\fill[](-1,1.732)circle(0.05);
\fill[](1,1.732)circle(0.05);
\draw[red!50!blue] (-2,0)--(2,0);
\draw[blue, densely dashed](-2,0)--(0,3.464)--(2,0);
\draw[blue] (2,0)arc (0:60:4);
\draw[blue] (-2,0)arc (180:120:4);
\draw(-2,0) node[below] {$A$};
\draw(2,0) node[below] {$B$};
\end{tikzpicture}}\)

[matmatmm]

Niech w naszym trójkącie \(\displaystyle{ a\leq c, b\leq c}\). Wynika stąd, że kąty \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) są ostre i dalej, że rzut prostokątny \(\displaystyle{ D}\) punktu \(\displaystyle{ C}\) na prostą \(\displaystyle{ AB}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Dalej wynika stąd, że trójkąt domknięty \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) jest sumą trójkątów \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) i \(\displaystyle{ \triangle BCD}\). Koło o średnicy \(\displaystyle{ AC=b\leq c=1}\) jest opisane na trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) i podobnie koło o średnicy \(\displaystyle{ BC=a\leq c=1}\) jest opisane na trójkącie \(\displaystyle{ \triangle BCD}\).