nierównosc w trójkacie
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
nierównosc w trójkacie
Na boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\) (\(\displaystyle{ AC=BC}\)) obrano punkty \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) tak \(\displaystyle{ \angle{MCN} \le \frac{1}{2} \angle{ACB}}\). Wykaż że \(\displaystyle{ MN \le \frac{1}{2}AB.}\)
Ostatnio zmieniony 19 maja 2019, o 16:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
nierównosc w trójkacie
Lemat 1. Niech \(\displaystyle{ \triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1}\) będą trójkątami prostokątnymi o kątach prostych przy wierzchołkach \(\displaystyle{ C,C_1}\). Ponadto \(\displaystyle{ AC=A_1C_1}\) oraz \(\displaystyle{ \angle B_1A_1C_1=\alpha_1<\alpha=\angle BAC}\). Wówczas \(\displaystyle{ B_1C_1<BC}\).
Lemat 2. Niech \(\displaystyle{ \tiangle ABC}\) będzie trójkątem prostokątnych o kacie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \triangle PQR}\) będzie trójkątem ostrokątnym. Ponadto wysokość opuszczona z wierzchołka \(\displaystyle{ R}\) ta ma długość równą \(\displaystyle{ AC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BAC=\alpha=\angle PRQ}\). wówczas \(\displaystyle{ PQ<BC}\).
Dowód zadania. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ AB}\).
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ K=M}\) lub \(\displaystyle{ K=N}\). Oczywiste.
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) leżą oba na odcinku \(\displaystyle{ AK}\) lub oba na odcinku \(\displaystyle{ BK}\). Oczywiste.
Trzeci przypadek: \(\displaystyle{ M}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AK}\), \(\displaystyle{ N}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ BK}\) lub odwrotnie.
Kąt \(\displaystyle{ \angle MCN}\) jest ostry. Trójkąt \(\displaystyle{ \triangle MCN}\) jest ostrokątny. Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem na półprostej \(\displaystyle{ KB}\) takim, że \(\displaystyle{ \angle KCE=\angle MCN}\). Z lematu 2 (zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ \triangle CEK}\) i \(\displaystyle{ \triangle MNC}\)) \(\displaystyle{ MN<KE}\), a z lematu 1 (zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ \triangle CKB}\) i \(\displaystyle{ \triangle CKE}\)) \(\displaystyle{ KE\leq KB=\frac{1}{2}AB}\).
Lemat 2. Niech \(\displaystyle{ \tiangle ABC}\) będzie trójkątem prostokątnych o kacie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \triangle PQR}\) będzie trójkątem ostrokątnym. Ponadto wysokość opuszczona z wierzchołka \(\displaystyle{ R}\) ta ma długość równą \(\displaystyle{ AC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BAC=\alpha=\angle PRQ}\). wówczas \(\displaystyle{ PQ<BC}\).
Dowód zadania. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ AB}\).
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ K=M}\) lub \(\displaystyle{ K=N}\). Oczywiste.
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) leżą oba na odcinku \(\displaystyle{ AK}\) lub oba na odcinku \(\displaystyle{ BK}\). Oczywiste.
Trzeci przypadek: \(\displaystyle{ M}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AK}\), \(\displaystyle{ N}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ BK}\) lub odwrotnie.
Kąt \(\displaystyle{ \angle MCN}\) jest ostry. Trójkąt \(\displaystyle{ \triangle MCN}\) jest ostrokątny. Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem na półprostej \(\displaystyle{ KB}\) takim, że \(\displaystyle{ \angle KCE=\angle MCN}\). Z lematu 2 (zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ \triangle CEK}\) i \(\displaystyle{ \triangle MNC}\)) \(\displaystyle{ MN<KE}\), a z lematu 1 (zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ \triangle CKB}\) i \(\displaystyle{ \triangle CKE}\)) \(\displaystyle{ KE\leq KB=\frac{1}{2}AB}\).