Wykazanie nierówności

[41421356]

Wykaż, że dla dowolnego trójkąta zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ ab+bc+ac\geq 4\sqrt{3}P}\)

gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są bokami trójkąta, a \(\displaystyle{ P}\) jego polem.

[bosa_Nike]

To jest bezpośredni wniosek z nierówności Hadwigera-Finslera i nierówności Weitzenboecka.

[41421356]

A w jakiś prostrzy sposób nie mogę? To zadanie na poziomie liceum i ewentualnie we wskazówce mam do wykorzystania wzór Herona. Tylko nie wiem jak go wykorzystać.

[bosa_Nike]

Możesz w każdy prawidłowy sposób. Ponieważ nierówność Weitzenboecka też wynika z nierówności Hadwigera-Finslera, więc znajdź dowód tej ostatniej, prześledź, zorientuj się czego nie rozumiesz i wróć z ewentualnymi pytaniami.-- 8 maja 2019, 14:43 --Jeżeli masz do dyspozycji tylko wzór Herona, to wykorzystaj fakty, że
\(\displaystyle{ (ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)}\)
oraz
\(\displaystyle{ abc\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}\)

[41421356]

Dziękuję, już wszystko jasne.