Udowodnij ze trojkat nie jest rownoboczny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z kątow zewnętrznych tego trojkata jest wiekszy od \(\displaystyle{ 120}\) stopni.
W trojkacie rownobocznym miary kątów wewnetrznych wynosza po \(\displaystyle{ 60}\) stopni.
Kąt zewnętrzny jest rowny sumie katow wewnetrzych do niego nieprzyleglych.
Kazdy z kątow zewnetrznych trojkata rownobocznego bedzie mial miare \(\displaystyle{ 120}\) stopni.
trojkat rownoboczny
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 9 kwie 2019, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
trojkat rownoboczny
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2019, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Pisz staranniej.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Pisz staranniej.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: trojkat rownoboczny
Implikacja "w prawo".
Przypuśćmy, że każdy z kątów zewnętrznych ma miarę nie większą niż \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Pokażemy, że trójkąt jest równoboczny (prawo kontrapozycji). Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą kątami tego trójkąta. Wtedy \(\displaystyle{ \alpha+\beta \leq 120^{\circ}}\), \(\displaystyle{ \beta+\gamma \leq 120^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \gamma+\alpha \leq 120^{\circ}}\). Zatem \(\displaystyle{ 2\alpha+2\beta+2\gamma \leq 360^{\circ}}\). co jest równoważne \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma \leq 180^{\circ}}\). Równość w ostatniej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w tych trzech od których wychodziliśmy na samym początku, czyli wtedy, gdy \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). A skoro wiemy, że równość zachodzi (suma miar kątów w trójkącie wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), to \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). Zatem trójkąt jest równoboczny.
Implikacja "w lewo".
Skoro jeden z kątów zewnętrznych danego trójkąta ma miarę większą od \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), to kąt do niego przyległy będący zarazem kątem wewnętrznym danego trójkąta ma miarę mniejszą od \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), z czego wynika fakt, że trójkąt nie może być równoboczny.
Przypuśćmy, że każdy z kątów zewnętrznych ma miarę nie większą niż \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Pokażemy, że trójkąt jest równoboczny (prawo kontrapozycji). Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą kątami tego trójkąta. Wtedy \(\displaystyle{ \alpha+\beta \leq 120^{\circ}}\), \(\displaystyle{ \beta+\gamma \leq 120^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \gamma+\alpha \leq 120^{\circ}}\). Zatem \(\displaystyle{ 2\alpha+2\beta+2\gamma \leq 360^{\circ}}\). co jest równoważne \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma \leq 180^{\circ}}\). Równość w ostatniej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w tych trzech od których wychodziliśmy na samym początku, czyli wtedy, gdy \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). A skoro wiemy, że równość zachodzi (suma miar kątów w trójkącie wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), to \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). Zatem trójkąt jest równoboczny.
Implikacja "w lewo".
Skoro jeden z kątów zewnętrznych danego trójkąta ma miarę większą od \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), to kąt do niego przyległy będący zarazem kątem wewnętrznym danego trójkąta ma miarę mniejszą od \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), z czego wynika fakt, że trójkąt nie może być równoboczny.