trojkat rownoboczny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
wlod3224
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 kwie 2019, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

trojkat rownoboczny

Post autor: wlod3224 »

Udowodnij ze trojkat nie jest rownoboczny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z kątow zewnętrznych tego trojkata jest wiekszy od \(\displaystyle{ 120}\) stopni.

W trojkacie rownobocznym miary kątów wewnetrznych wynosza po \(\displaystyle{ 60}\) stopni.
Kąt zewnętrzny jest rowny sumie katow wewnetrzych do niego nieprzyleglych.
Kazdy z kątow zewnetrznych trojkata rownobocznego bedzie mial miare \(\displaystyle{ 120}\) stopni.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2019, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Pisz staranniej.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: trojkat rownoboczny

Post autor: MrCommando »

Implikacja "w prawo".
Przypuśćmy, że każdy z kątów zewnętrznych ma miarę nie większą niż \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Pokażemy, że trójkąt jest równoboczny (prawo kontrapozycji). Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą kątami tego trójkąta. Wtedy \(\displaystyle{ \alpha+\beta \leq 120^{\circ}}\), \(\displaystyle{ \beta+\gamma \leq 120^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \gamma+\alpha \leq 120^{\circ}}\). Zatem \(\displaystyle{ 2\alpha+2\beta+2\gamma \leq 360^{\circ}}\). co jest równoważne \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma \leq 180^{\circ}}\). Równość w ostatniej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w tych trzech od których wychodziliśmy na samym początku, czyli wtedy, gdy \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). A skoro wiemy, że równość zachodzi (suma miar kątów w trójkącie wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), to \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}}\). Zatem trójkąt jest równoboczny.

Implikacja "w lewo".
Skoro jeden z kątów zewnętrznych danego trójkąta ma miarę większą od \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), to kąt do niego przyległy będący zarazem kątem wewnętrznym danego trójkąta ma miarę mniejszą od \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), z czego wynika fakt, że trójkąt nie może być równoboczny.
ODPOWIEDZ