okrąg wpisany

[Pietras2001]

W trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) wpisano okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Prosta \(\displaystyle{ CO}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Udowodnić, że iloczyn długości odcinków \(\displaystyle{ CO}\) i \(\displaystyle{ DO}\) jest \(\displaystyle{ 2}\) razy większa niż iloczyn promieni okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\)

[kry145]

Przyjmiemy oznaczenia z rysunku.
\(\displaystyle{ |SC|=R}\) - Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ |OE|=r}\) - Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\)

Teza:
\(\displaystyle{ |CO|\cdot|OD|=2\cdot R \cdotr}\)

Dowód:
Rozpoczniemy od przekształcenia tezy:
\(\displaystyle{ |CO|\cdot|OD|=2Rr \ |:r\ (r>0)}\)

\(\displaystyle{ 2R= \frac{|CO|\cdot|OD|}{r}}\)
Z twierdzenia sinusów wiemy że \(\displaystyle{ 2R=\frac{|CB|}{\sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{|CB|}{\sin \alpha }=\frac{|CO| \cdot |OD|}{r} \ |\cdot r\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ |CB|\cdot r=|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha \ |\cdot \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|CB|\cdot r}{2}=\frac{1}{2}|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha}\)

Jako że: \(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup COB}=\frac{|CB|\cdot r}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup COB}=\frac{1}{2}|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha \ |:\frac{1}{2}|CO|}\)

\(\displaystyle{ \frac{P_{\bigtriangleup COB}}{0,5|CO|}=|OD|\cdot \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ |BF|=|OD|\cdot \sin \alpha}\)

Jako że: \(\displaystyle{ \sphericalangle CAB=\sphericalangle CDB= \alpha}\), ponieważ są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku.


Korzystając z własności trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie \(\displaystyle{ BFD}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{|BF|}{|BD|}}\) więc:

\(\displaystyle{ |BF|=|OD|\cdot \frac{|BF|}{|BD|} \ |\cdot \frac{|BD|}{|BF|}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=|BD|}\)

Rozpiszmy miary kątów trójkąta \(\displaystyle{ ODB}\):

\(\displaystyle{ \sphericalangle ODB= \alpha}\)
Co uzasadniliśmy wcześniej.

\(\displaystyle{ \sphericalangle DBO= \sphericalangle ABD + \sphericalangle ABO = \frac{1}{2}\gamma+\frac{1}{2}\beta}\)
Miara kąta \(\displaystyle{ ABO}\) jest równa połowie miary kąta beta, ponieważ \(\displaystyle{ BO}\) to dwusieczna kąta beta.
Miara kąta \(\displaystyle{ ABD}\) jest równa połowie miary kąta gamma, ponieważ jest to kąt wpisany w okrąg, oparty na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ ACD}\).

Korzystając z faktu że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sphericalangle DOB= \frac{1}{2}\gamma+\frac{1}{2}\beta}\)

Jako że \(\displaystyle{ \sphericalangle DOB=\sphericalangle DBO}\), to trójkąt \(\displaystyle{ BOD}\) jest równoramienny.
Co dowodzi \(\displaystyle{ |OD|=|BD|}\) i kończy dowód.