Dowód dla trójkąta rozwartokątnego

[Jkbk1467]

Witam! Nie mam pomysłu na zadanie: Wykazać, że dla \(\displaystyle{ x,y,z}\) dodatnich takich, że \(\displaystyle{ x \sqrt{x} + y \sqrt{y} =z \sqrt{z}}\) dane \(\displaystyle{ x,y,z}\) są bokami trójkąta rozwartokątnego. Ktoś ma jakiś pomysł i chce się nim podzielić?

[Blazo2000]

Skoro, \(\displaystyle{ x, y, z}\) są dodatnie to jasne jest, że \(\displaystyle{ z}\) jest największe, teraz więc wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ z ^{2}>x ^{2}+y ^{2}}\) oraz, że \(\displaystyle{ z < x+y}\), no a to już łatwo zrobić z wyjściowej równości. Pierwsze dostaniemy mnożąc równanie z treści przez \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\), a drugie dzieląc to równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\).

[Zahion]

Równoważnie masz, że \(\displaystyle{ x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} = z^{\frac{3}{2}}}\), czyli
\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{z}\right)^{2} + \left( \frac{y}{z}\right)^{2} < \left( \frac{x}{z}\right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{y}{z}\right)^{\frac{3}{2}} = 1 \Rightarrow z^{2} > x^{2} + y^{2}}\)

[Jkbk1467]

Dziękuję wszystkim, już rozumiem