Matematyka.pl

Witam, czy istnieje coś takiego (i czy jest prawidłowe) jak twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym? Tzn. Jeśli kąt wewnątrz okręgu ma miarę dwukrotnie większą od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku to jest to kąt środkowy?
Dzięki za pomoc!

Twierdzenie w wersji podanej przez ciebie nie zachodzi. Zachodzi natomiast coś takiego:

Załóżmy, że w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), a punkt \(\displaystyle{ O}\) jest takim punktem, że leży on na symetralnej boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BOC=2\alpha}\). Wówczas \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\).

Takie tw. nie zachodzi. Wstęp do dowodu:

Narysuj okrąg. Oznacz łuk \(\displaystyle{ AB}\). Opisz okrąg na trójkącie \(\displaystyle{ ABO}\) (\(\displaystyle{ O}\) - środek tego pierwszego okręgu). Wniosek powinien nasunąć się sam.